Matematiks pendel ( vinkel intervall)

Det beror på hur stort fel du tillåter.

Det gäller för vinklar i radianer där

$\sin \theta \approx \theta$

Det finns ingen tydlig gräns.  Approximationen är bättre ju mindre vinkeln är och börjar bli riktigt dålig för vinklar större än π/6 (30°).

Tack så mycket

Låt oss konkretisera problemet med frågan:

Hur många perioder kommer det att ta innan en matematiskpendel har fallit efter en hel approximativ period bakom en approximativ pendel, given en viss vinkel?

Dvs låt oss säga att vi har en matematisk (friktionsfri) pendel till vänster och till höger en analog klocka som har justerats så att visaren fullbordar ett varv på urtavlan precis  på tiden $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ dvs den approximativa perioden. Om vi sätter igång dessa samtidigt så kommer de inledningsvis upplevas vara i fas; pendeln fullbordar en period samtidigt som klockan fullbordar ett varv men om vi väntar tillräckligt länge kommer pendelns successivt att hamna mer och mer efter klockan. Säg att efter en pendelperiod så är klockan $3^\circ$ förbi ett helt varv. Efter två pendelperioder $6^\circ$, och alltså efter 120 pendelperioder har klockan rört sig ett helt extra varv dvs ligger en pendelperiod före i tid. I det fallet skulle vi säga att avikelsen från modellen är signifikant efter 120 perioder.

Om vi matematiskt modellerar hur många hela perioder en sådan pendel måste göra innan den hamnat efter med 1 period får vi följande samband

(fulkodad. Reservation för mindre fel)

Så vi kan se vissa trender att om vinkeln är mindre än 5 grader krävs mer än 10 000 perioder innan matematiska pendeln hamnat 1 period efter medan det för vinklar större än 30 grader hamnar efter med 1 period på under 100 perioder. Hur lång tid detta sedan tar beror på hur lång pendeln är men man kan uppskatta att en kort pendel har en period på strax under 0.5s och då ger dessa tal dig en känsla för hur många halvsekunder du måste stirra på en pendel innan du börjar märka att modellen inte stämmer.

En gymnasieelev som uppskattar periodtider genom att observera en pendel med liten vinkel under 100 perioder kommer dock inte att märka att formeln inte stämmer, och om man får avvikelser under korta mätningar så beror det på andra effekter än att $\sin x \neq x$

Koden:

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

def K(th): //procentuella avvikelsen från approximativa perioden
   return 1+ (1/16)*th**2 + (11/3072)*th**4 + (173/737280)*th**8 + (1319183/951268147200)*th**10 + (233526463/2009078326886400)*th**12

x = np.linspace(0,np.pi/3,1000)

plt.plot(360*x/(2*np.pi), 1/(K(x) -1))
plt.yscale('log')
plt.xscale('linear')
plt.xlabel('Initial vinkel i grader')
plt.ylabel('Antal perioder då pendeln fallit efter med 1 period')

Det vore för övrigt nog inte ett alltför svårt hobbyexperiment att mäta rörelsen hos en pendel över en längre tid och se hur den avviker. Det är inte praktiskt att göra med tidtagarur i ett klassrum då man blir galen av att stirra på en men det som jag tycker är så trevligt är ju att sedan jag gick i gymnasiet så har ju automatiserade mätverktyg blivit mycket mer lättillgängliga eller i alla fall billiga.

Att ha pendeln hängandes från en kraftmätare och logga det över tid är enklast men har man ingen sådan utan istället har en webkamera (eller bara mobilkamera) som filmar rörelsen. Att få hastigheter och sånt är universitetsmatte men det kan inte vara avancerat alls att bara extrahera huruvida pendeln rör sig åt höger eller vänster i bilden. Ta två bilder i sekvens och jämför huruvida pixlarna med färg motsvarande pendeln driver åt höger eller vänster i bilden och man lär kunna få data i stil med "vänster i 0,31s, höger i 0,30s, vänster i 0,30s" osv från vilket man kan extrahera periodtider. Kör det i 1h med en tung pendel och man kanske faktiskt kan se riktiga avvikelser. 

Hade varit ett solitt kompakt gymnasiearbete annars.