Matematikprovet år 2021, Uppgift 30

En bra början är att fastställa definitionsmängden. I HL hittar vi ett rotuttryck, som gör att vi kan sluta oss till att x måste vara större än, eller lika med noll. Dessutom måste högerledet vara lika med ett rotuttryck (VL), och därför får inte högerledet vara negativt. Dvs. $2-\sqrt{x}\ge 0$, vilket endast uppnås om x är mindre än, eller lika med fyra. Högerledet begränsar därför vår definitionsmängd till $0\le x\le 4$.

Hur är det med vänsterledet? Finns det några begränsningar av definitionsmängden där, som gör att definitionsmängden minskar ännu mer? :)

I vänsterledet måste följande gälla:

- $\sqrt{x^2-1}\ge 0$, vilket innebär att $x\ge 1$

En fråga: Måste högerledet vara ett större eller lika med noll för att en potensfunktion (vilket vänsterledet uttrycker) endast har värdemängd större eller lika med noll?

Tillägg: 29 dec 2024 17:24

Om en nu antar att $x=1$ så blir $\sqrt{x^2-1}=0$, så kan en inse att hela vänsterledet måste ha en värdemängd $\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}\ge 1$.Följaktligen måste högerledet

$2-\sqrt{x}\ge 1$, vilket innebär att definitionsmängden blir x$\le 1$

Om definitionsmängden för hela ekvationsuttrycket (uttrycker en det så?) är antingen lika med eller större/mindre än 1, så kommer den endast att ha lösningen x = 1. Är det korrekt resonemang?

MickeLiL skrev:

I vänsterledet måste följande gälla:

- $\sqrt{x^2-1}\ge 0$, vilket innebär att $x\ge 1$

En fråga: Måste högerledet vara ett större eller lika med noll för att en potensfunktion (vilket vänsterledet uttrycker) endast har värdemängd större eller lika med noll?

Precis – uttrycket $\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}$ är aldrig negativt, vilket medför att högerledet inte heller kan vara det. :)

---

Tillägg: 29 dec 2024 17:24

Om en nu antar att $x=1$ så blir $\sqrt{x^2-1}=0$, så kan en inse att hela vänsterledet måste ha en värdemängd $\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}\ge 1$.Följaktligen måste högerledet

$2-\sqrt{x}\ge 1$, vilket innebär att definitionsmängden blir x$\le 1$

Jag är inte riktigt med på vad som händer här. Det stämmer att $\sqrt{x^2-1}$ är definierat för $x\le -1$ och $x\ge 1$ (de negativa värdena fungerar inte i högerledet, och kan därför bortses från, men de bör nämnas i motiveringen), men vad händer sedan? Säger inte att du har fel, bara att det är lite otydligt hur du kommer fram till att VL ≥ 1. 

Om definitionsmängden för hela ekvationsuttrycket (uttrycker en det så?) är antingen lika med eller större/mindre än 1, så kommer den endast att ha lösningen x = 1. Är det korrekt resonemang?

Nästan! Det betyder att den enda möjliga lösningen är $x=1$, men sedan måste du prova om det faktiskt stämmer – kanske har ekvationen inga lösningar alls. 

Håller med, att det inte gäller för negativa x-värden bör förklaras varför, vilket jag inte gjorde.

 

Sen undersöker jag y-värdet för det minsta x-värdet i vänsterled, nämligen x = 1. Detta leder mig till att vänsterled har värdemängd större eller lika med 1. Detta är även värdemängden för högerled. Om jag sedan undersöker vilken definitionsmängd som uppfyller denna värdemängd, kommer jag fram till att det endast gäller för x-värden lika med eller mindre än 1 (för högerled).

Smutstvätt skrev:

Smutstvätt skrev:

Nästan! Det betyder att den enda möjliga lösningen är $x=1$, men sedan måste du prova om det faktiskt stämmer – kanske har ekvationen inga lösningar alls. 

Håller med, det borde undersökas.

MickeLiL skrev:

Sen undersöker jag y-värdet för det minsta x-värdet i vänsterled, nämligen x = 1. Detta leder mig till att vänsterled har värdemängd större eller lika med 1. Detta är även värdemängden för högerled. Om jag sedan undersöker vilken definitionsmängd som uppfyller denna värdemängd, kommer jag fram till att det endast gäller för x-värden lika med eller mindre än 1 (för högerled).

Okej, ja det låter rimligt! 

Då kvarstår bara att kontrollera att $x=1$ är en lösning, och sedan är du färdig. Snyggt jobbat! 😊

Tack för hjälpen!

Varsågod! :)

Hej! Jag undrar, är ni i gymnasiet? Universitetet? Både er svenskan och kunskaper inom matte är på en väldigt hög nivå!

Välkommen till Pluggakuten! Matematiken som krävs för Matematik- och fysikprovet är upp till och med Matematik 4. 

Svenskan, tja, jag vet inte hur det är för MickeLil, men svenska är mitt modersmål. Med det sagt, jag har gått ut gymnasiet för länge sedan. :)