Matematikprov 2012 uppgift 16

Använd dubbla-vinkeln-formeln för sinus så kan du få de två termerna lite mer lika varandra. Sen finns ett knep man ibland kan använda i ekvationer när högerledet är noll...

Tack så mycket. Kan det här resonemanget förfinas?

 $$\begin{gathered} 2{\sin }^{2}x + \sqrt{3}\sin 2x= 0 \\ 2{\sin }^{2}x + \sqrt{3}\times 2\sin x\cos x = 0 \\ \sin x =\hspace{0.17em}x \\ {x}^2+ \sqrt{3}x\times \cos x\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0 \\ x(x+\sqrt{3}\cos x)\hspace{0.17em}= 0 \\ {x}_1= 0, x_2= \sqrt{3}\cos x \\ Sätter in x_1, \sin x =\hspace{0.17em}0 \to x_1= 0 x_2=\mathrm{\pi } \\ \mathrm{Sätter} \mathrm{in} {\mathrm{x}}_{2 } , \sin \mathrm{x} = \sqrt{3}\mathrm{cosx} \to \\ \mathrm{resonerar} \mathrm{att} \det \mathrm{bara} \mathrm{finns} \mathrm{en} \mathrm{lösning} \mathrm{i} \mathrm{intervallet} 0\le \mathrm{x}\le \mathrm{\pi } \mathrm{med} \det \mathrm{villkoret}. \\ \mathrm{Alltså} \mathrm{finns} \mathrm{bara} 3 \mathrm{lösningar}. \end{gathered}$$

Ser ut som en ansats med nollproduktmetoden, vilket är knepet jag tänkte på. Men att döpa om sin(x) till x är ingen bra idé, då blir ju x:et dubbeltydigt! Du har ju kvar cos(x) i ekvationen, så är det då cos(x) eller cos(sin(x))? Välj en ny bokstav istället, om du vill göra ett byte (det är egentligen inte nödvändigt, men fullt tillåtet om man tycker det hjälper).

Sen ser det ut som ett teckenfel där du hittar $x_2$. Parentesen blir väl inte noll om båda termer är $\sqrt{3}\cos(x)$? Då blir parentesen $(\sqrt{3}\cos(x) + \sqrt{3}\cos(x)) = 2\sqrt{3}\cos(x)$.

Ja, du har helt rätt Skaft. Det är fel att använda x som benämning för sin x. och $x_2=-\sqrt{3}\cos x$