Matematikområde efterlyses

Har din google gått sönder? Jag får vad som verkar som bra träffar när jag googlar. Sen att jag inte förstår nåt är en annan sak.

Det handlar av allt att döma om algebraisk geometri, där ett av de mest centrala koncepten sedan 60-talet någon gång är så kallade scheman (eng. schemes), som löst uttryckt är en slags geometriska objekt som "lokalt specificeras" av kommutativa ringar. Den exakta definitionen är en lång och ganska abstrakt historia som kräver att man har någorlunda koll på både topologi, ringteori och kategoriteori (och vad begreppen Hilbert-schema, etale-avbildning osv. betyder är ännu längre historia, som jag tyvärr inte förstår ännu).

Det jag däremot kan säga är att den bästa vägen fram till en förståelse för modern algebraisk geometri allmänt anses vara att gå tillbaka till ämnets rötter, där man från början studerade en speciell typ av scheman som kallas för varietéer, där den algebraiska datan som specificerar geometrin är polynomringar. Sådan här lite mer klassisk algebraisk geometri med varitéer är i sig ett mycket intressant och rikt matematikområde, som det fortfarande forskas mycket runt, och det börjar dyka upp fler och fler idéer på tillämpningar i takt med att vi får bättre och bättre verktyg för att med datorns hjälp handskas med de bakomliggande polynomberäkningarna. (Bland annat pågår den här veckan en stor workshop om interaktioner mellan kombinatorik och klassisk algebraisk geometri som jag är med på - väldigt spännande!)

Tre bra ställen att börja om du vill få en känsla för vad algebraisk geometri handlar om är dessa:

• Webinar about algebraic geometry med Ravi Vakil and Bernd Sturmfels.
• Bézout's Theorem: A taste of algebraic geometry av Stephanie Fitchett.
• Kapitel 5 i boken Mathematics++ av Ida Kantor, Jiří Matousek och Robert Šámal. Det kapitlet leder dessutom fram till begreppet Hilbert-funktion, så förstår du detta har du kommit en liten bit på vägen mot att förstå vad seminariet handlade om! ^_^

Om detta fångar ditt intresse skulle du kunna ta en titt på boken Ideals, Varieties, and Algorithms av David A. Cox, John Little och Donal O'shea, som tar en väldigt "hands on" approach till klassisk algebraisk geometri utan några större krav på förkunskaper. Nästa steg skulle kunna vara att ge sig på något av det jag föreslår i den här tråden, men då börjar vi komma upp på saker som kräver förkunskaper motsvarande en kandidat i matematik... Som du kanske vet är algebraisk geometri lite av en KTH-specialitet, så ett alternativ är ju också att gå och knacka på hos någon ur den verkliga expertisen, och se om du kan få en förklaring och/eller lite lästips!

Laguna: det var för att jag försökte googla flera av de samtidigt, och då kom bara forskningsartiklar upp.

Hmm algebraisk geometri... Dit har mitt utforskande aldrig sträckt sig, men jag har hört namnet.

Jag såg någon redditpost om en metaanalys som fann att algebraisk geometri (eller topologi, jag minns inte) ansågs vara det mest avancerade/abstrakta området i matte. Hör algebraisk geometri till dina intressen?

Och nej, jag visste inte det, men nu vet jag varför master och doktorandkursutbudet ser ut som det gör! Haha. Vilka andra specialitéer har KTH? Jag kan tänka mig PDE eller nåt om stokastik.

Dock tror jag att det här får ligga och vänta tills jag känner mig färdig med mina (fourier)analys/funktionalanalys/differentialgeometri grejer. De specifika bitarna som skulle ligga till grund till detta i en kandidat (om jag utgår från SU) tror jag jag kommer läsa i vår och i sommar (kurserna algebra och kombinatorik samt abstrakt algebra?). 

För en gångs skull ska jag spåra min tråd, jag vill fråga lite om det här med diskrethet. Efter nu en halv termin och lite inpå våren av den här kursen inser jag att jag blir obekväm med diskreta och/eller ändliga mängder (ge mig Lie-grupper och bota mig!!). Om algebraisk geometri utgår från multivariabla polynom och deras rötter känns det som att studiet av något kontinuerligt (t.o.m. glatt, alltså polynomen) blir diskret? Jag förstod inte alls mycket av seminariet men det lät inte kontinuerligt.

(påminner om mitt plötsliga intresse i gymnasiet, när jag upptäckte att differentialoperatorn gick att kontinuerlisera, dvs ha icke-heltalsexponenter).

Det var jättetrevligt att lyssna på lite matte fast jag inte fattade faktiskt, jag ska definitivt besöka fler sånna nu när det är så enkelt med corona. Jag tror han som pratade var en forskare (som pratade med andra forskare, bland annat läraren i respresentationsteorikursen jag går hahaha), så om jag kan hitta nån doktorsdisputation kanske det blir lite lite enklare att fatta. Eller någon sorts redovisning för en kandidat eller masteruppsats. Någon nära teoretisk fysik kanske...

En annan kommentar jag har är att sättet de pratade om materialet var väldigt informellt. Han presenterade inga bevis, bara fakta. Det förstärkte det där intrycket jag en gång skrev om, att matte ibland känns som humaniora. Ett uttryck "... but this is also applicable to other moduli spaces, whatever your favorite one might be" och "you basically cut away the quotient but have to way to control where the invariant goes, so really, this is indeterminable" (och ritade nån fin bild, men som jag - återigen - inte fattade). Och i slutet tog han upp tre stycken takeaways, och de beskrev han på så hög nivå att jag nästan kunde fatta, det lät väldigt generellt.

Qetsiyah skrev:

Jag såg någon redditpost om en metaanalys som fann att algebraisk geometri (eller topologi, jag minns inte) ansågs vara det mest avancerade/abstrakta området i matte.

All matematik är svår om man går tillräckligt djupt, men visst, modern (post-Grothendieck) algebraisk geometri kan nog sägas vara smått ökänt för att operera på en alldeles särskilt hög abstraktionsnivå (det finns en rätt kul sång om detta). Algebraisk topologi och kategoriteori (och framför allt något som kallas för högre kategoriteori) är ett annat område som betraktas som särskilt abstrakt.

Hör algebraisk geometri till dina intressen?

Helt klart! Men främst i lite mer jordnära former än det vi har diskuterat i den här tråden. Jag är framför allt nyfiken på tillämpningar av algebraisk geometri (t.ex. inom kemi, biologi och dataanalys), och matematiska/algoritmiska frågor som (mer eller mindre indirekt) motiveras av sådana tillämpningar.  

Vilka andra specialitéer har KTH? Jag kan tänka mig PDE eller nåt om stokastik.

Ingen aning. Vet att det finns en del kombinatoriker och ett par personer som håller på med differentialgeometri, men annars har jag ingen roll. Du får kolla runt på matematikinstitutionens hemsida!

Dock tror jag att det här får ligga och vänta tills jag känner mig färdig med mina (fourier)analys/funktionalanalys/differentialgeometri grejer. De specifika bitarna som skulle ligga till grund till detta i en kandidat (om jag utgår från SU) tror jag jag kommer läsa i vår och i sommar (kurserna algebra och kombinatorik samt abstrakt algebra?). 

Låter vettigt!

Efter nu en halv termin och lite inpå våren av den här kursen inser jag att jag blir obekväm med diskreta och/eller ändliga mängder (ge mig Lie-grupper och bota mig!!). Om algebraisk geometri utgår från multivariabla polynom och deras rötter känns det som att studiet av något kontinuerligt (t.o.m. glatt, alltså polynomen) blir diskret? Jag förstod inte alls mycket av seminariet men det lät inte kontinuerligt.

Hm, jag vet inte exakt vad du menar med 'kontinuerligt' och 'diskret' här, men det man kanske kan säga är att hela idén på något vis i (klassisk) algebraisk geometri är att man utnyttjar att de kurvor, ytor och andra geometriska objekt man studerar går att beskriva med ändlig data: som lösningsmängden av ändligt många polynom (eller som ändligt många sådana lösningsmängder ihoplimmade). Mycket av det man gör handlar (väldigt löst uttryckt) om att översätta fram och tillbaka mellan den geometriska världen (kurvor, ytor osv.) och den algebraiska världen (ringar och ideal) och utnyttja fördelarna i respektive värld för att lösa problem.

(Det var jättetrevligt att lyssna på lite matte fast jag inte fattade faktiskt, jag ska definitivt besöka fler sånna nu när det är så enkelt med corona. Jag tror han som pratade var en forskare (som pratade med andra forskare, bland annat läraren i respresentationsteorikursen jag går hahaha), så om jag kan hitta nån doktorsdisputation kanske det blir lite lite enklare att fatta. Eller någon sorts redovisning för en kandidat eller masteruppsats. Någon nära teoretisk fysik kanske...

Det tycker jag är helt rätta takter! Du är lite för ung för att ha dåligt samvete om du inte går på seminarier, men ju längre du kommer i matematiken, desto viktigare kommer det bli. Jag har länkat till dem förut, men det är värt att göra igen: Ravi Vakils råd om seminarier är väldigt bra. 

En annan kommentar jag har är att sättet de pratade om materialet var väldigt informellt. Han presenterade inga bevis, bara fakta. Det förstärkte det där intrycket jag en gång skrev om, att matte ibland känns som humaniora. Ett uttryck "... but this is also applicable to other moduli spaces, whatever your favorite one might be" och "you basically cut away the quotient but have to way to control where the invariant goes, so really, this is indeterminable" (och ritade nån fin bild, men som jag - återigen - inte fattade). Och i slutet tog han upp tre stycken takeaways, och de beskrev han på så hög nivå att jag nästan kunde fatta, det lät väldigt generellt.

Det låter som seminarieföredrag at their best: lättsam ton, fokus på huvudresultaten, idéerna, intuition och konkreta exempel, och tydliga takeaways. Om man behöver använda resultaten i sitt eget arbete och vill förstå de exakta detaljerna i definitioner, satser och och bevis, så är det betydligt trevligare och effektivare att läsa artikeln som ligger till grund för föredraget.

oggih skrev:

Efter nu en halv termin och lite inpå våren av den här kursen inser jag att jag blir obekväm med diskreta och/eller ändliga mängder (ge mig Lie-grupper och bota mig!!). Om algebraisk geometri utgår från multivariabla polynom och deras rötter känns det som att studiet av något kontinuerligt (t.o.m. glatt, alltså polynomen) blir diskret? Jag förstod inte alls mycket av seminariet men det lät inte kontinuerligt.

Hm, jag vet inte exakt vad du menar med 'kontinuerligt' och 'diskret' här, men det man kanske kan säga är att hela idén på något vis i (klassisk) algebraisk geometri är att man utnyttjar att de kurvor, ytor och andra geometriska objekt man studerar går att beskriva med ändlig data: som lösningsmängden av ändligt många polynom (eller som ändligt många sådana lösningsmängder ihoplimmade). Mycket av det man gör handlar (väldigt löst uttryckt) om att översätta fram och tillbaka mellan den geometriska världen (kurvor, ytor osv.) och den algebraiska världen (ringar och ideal) och utnyttja fördelarna i respektive värld för att lösa problem.

Inte riktigt, men det jag menade va kort och gott var att jag inte gillar ändliga eller uppräkneligt oändliga mängder.  Jag vet, det låter klyschigt för att jag säger mig gilla analysgrejer mer, men det känns i själen hela tiden (i seminariekursen)

(Det var jättetrevligt att lyssna på lite matte fast jag inte fattade faktiskt, jag ska definitivt besöka fler sånna nu när det är så enkelt med corona. Jag tror han som pratade var en forskare (som pratade med andra forskare, bland annat läraren i respresentationsteorikursen jag går hahaha), så om jag kan hitta nån doktorsdisputation kanske det blir lite lite enklare att fatta. Eller någon sorts redovisning för en kandidat eller masteruppsats. Någon nära teoretisk fysik kanske...

Det tycker jag är helt rätta takter! Du är lite för ung för att ha dåligt samvete om du inte går på seminarier, men ju längre du kommer i matematiken, desto viktigare kommer det bli. Jag har länkat till dem förut, men det är värt att göra igen: Ravi Vakils råd om seminarier är väldigt bra. 

Ja, den har du skickat 2 eller 1 gång förrut, håller helt med det han skriver.

En annan kommentar jag har är att sättet de pratade om materialet var väldigt informellt. Han presenterade inga bevis, bara fakta. Det förstärkte det där intrycket jag en gång skrev om, att matte ibland känns som humaniora. Ett uttryck "... but this is also applicable to other moduli spaces, whatever your favorite one might be" och "you basically cut away the quotient but have to way to control where the invariant goes, so really, this is indeterminable" (och ritade nån fin bild, men som jag - återigen - inte fattade). Och i slutet tog han upp tre stycken takeaways, och de beskrev han på så hög nivå att jag nästan kunde fatta, det lät väldigt generellt.

Det låter som seminarieföredrag at their best: lättsam ton, fokus på huvudresultaten, idéerna, intuition och konkreta exempel, och tydliga takeaways. Om man behöver använda resultaten i sitt eget arbete och vill förstå de exakta detaljerna i definitioner, satser och och bevis, så är det betydligt trevligare och effektivare att läsa artikeln som ligger till grund för föredraget.

På tal om det var det en annan sak som var väldigt mysig. Innan han började sa han att det är en ära att tala inför KTH folk eftersom det han presenterade var inspirerat/refererar till det som några från KTH har skrivit. Han kände till och med igen två personer som han såg upp till. Och han var alltså från Polen! Mattevärlden känns så liten.