Matematikdidaktisk diskussion: Variabel resp. konstant

Jag tycker ett bättre sätt att få fram skillnaden på variabel och konstant är att använda funktioner som beror av två variabler. Till exempel derivera f(x, y) med avseende på x och sedan med avseende på y,

$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$ ,

$\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$.

I det första fallet är x en variabel och i det andra fallet behandlas x som en konstant.

Enda sättet att lära sig att skilja ett "vanligtvis" och ett "alltid" är att konfronteras med med erfarenheter där de antaganden som man formar implicit av väldigt homogena erfarenheter får utmanas.

Människor är frekvensmaskiner och är ju känt att "förenklingar" i undervisning där problem homogeniserats bidrar till att elever, i synnerhet barn, ofta formar tillfälligt rimliga beteenden/slutsatser som inte motsvarar det man faktiskt vill, i detta fall att x är en exklusiv symbol i funktionssammanhang. Men det som jag påminns om är ett studerat exempel där diagram av trianglar som inte är spetsvinkliga eller är roterade så att den visuellt nedersta sidan inte är horisontell - tenderar, till lärares stora förvirrin, att inte identifieras som trianglar av barn var undervisningsmaterial huvudsakligen har tillrättalagda diagram. Dessa typer av variationer är inte bara luringar, de är rentav kritiska för effektivt lärande.

Det finns en tid och plats för alla problemtyper och är möjligt att timing ibland inte är inne, utifall det distraherar från en mer kritisk aspekt, men själva principen är ändå att om det är något som man förväntas ha koll på så ska man göra det.

Ett i alla fall i princip bra problem som är konformt med två av mina navigerande principer vad gäller lärande

-för att lära sig att göra något måste man göra just den saken och inte en annan

-för att lära sig vad något är så måste man också konfronteras med flera former vad det kan vara och jämföra med vad det inte är

Jonto skrev:

Om jag hade tittat på frågan lite sömndrucket finns nog risk att jag också gjort fel.

Vad tänker ni om frågan? Har den en bra pedagogisk poäng eller en bra inbyggd klurighet med att man måste hålla isär vad man deriverar med avseende på och vad som är konstanten? eller Hade detta kunnat fås fram på ett annat bättre sätt och  att denna frågeställning mest skapar negativ förvirring hos eleverna?

Varför är det så dåligt att göra fel? Alla gånger jag lärt mig mest är när jag gjort fel tiotusen gånger. Jag satt med en uppgift i tre dagar och tragglade innan jag kom på felet jag gjorde. Men nu kan jag det i alla fall.

Förstår inte varför studenter är så förbannat rädda för att göra fel. Problemet enligt mig är snarare att elever bara mekaniskt lär sig att göra vissa operationer utan att ens fundera eller förstå vad det är de gör.

woozah skrev: 

Varför är det så dåligt att göra fel? Alla gånger jag lärt mig mest är när jag gjort fel tiotusen gånger. Jag satt med en uppgift i tre dagar och tragglade innan jag kom på felet jag gjorde. Men nu kan jag det i alla fall.

Förstår inte varför studenter är så förbannat rädda för att göra fel. Problemet enligt mig är snarare att elever bara mekaniskt lär sig att göra vissa operationer utan att ens fundera eller förstå vad det är de gör.

Sammanfattat:

• Det är rätt att göra fel.
• Men det är fel att inte lära sig av det.

Om man först gör nånting fel, och sedan förstår varför det blev fel och hur man borde göra det i stället, så är chansen mycket större att man kommer ihåg det än om man bara glider igenom uppgiften på en räkmacka.

Jonto skriver: Vad tänker ni om frågan? Har den en bra pedagogisk poäng eller en bra inbyggd klurighet med att man måste hålla isär vad man deriverar med avseende på och vad som är konstanten? eller Hade detta kunnat fås fram på ett annat bättre sätt och att denna frågeställning mest skapar negativ förvirring hos eleverna?

ConnyN svarar: Det är ett bra sätt att få eleven att tänka själv. Tyvärr minns jag min irritation från gymnasietiden när jag blev utsatt för det, men nu efter alla arbetsår ser jag det ur en annan synvinkel.
I yrkeslivet är det sällan några tillrättalagda problem. Där får man så att säga uppfinna hjulet gång på gång. Man kanske inte har en aning om vad som borde sättas som x och y. De tal man använder innehåller nästan alltid oändligt många decimaler och svaren såg ut på de mest märkliga sätt. Inget var likt lärobokens exempel, men med tiden och erfarenhet så förstod man bättre vad som skulle bli resultatet och det var ofta saker som återkom. I mitt fall var det kortslutningsberäkningar i trefasnät och temperaturavsvalningar för stora motorer på 10 - 22 MW.

Det blev också väldigt tydligt att de med en högskoleutbildning hade mycket lättare att ta sig an sådana problem och nu när jag börjat nosa på sådana studier förstår jag varför.

@Jonto.

Du skriver att ditt exempel kan orsaka negativ förvirring hos elever (vad nu det betyder). Vad är ett exempel på positiv förvirring? Jag antar att det finns tre slag av förvirring: Positiv förvirring, negativ förvirring och neutral förvirring.

Detta är nytt för mig då jag endast är bekant med förvirring. Det centrala i din text tycks just vara detta med negativ förvirring, så jag skulle gärna vilja diskutera begreppet. 

Albiki skrev:

@Jonto.

Du skriver att ditt exempel kan orsaka negativ förvirring hos elever (vad nu det betyder). Vad är ett exempel på positiv förvirring? Jag antar att det finns tre slag av förvirring: Positiv förvirring, negativ förvirring och neutral förvirring.

Detta är nytt för mig då jag endast är bekant med förvirring. Det centrala i din text tycks just vara detta med negativ förvirring, så jag skulle gärna vilja diskutera begreppet. 

 Jag tror negativ förvirring är förvirring som inte ger så mycket förståelse med avseende på den nerlagda tiden eller inte alls leder till någon förståelse. Positiv förvirring utmanar förutfattade meningar och ger djupare förståelse.

Det finns en historia som är ungefär så här:

Det var en gång två funktioner som var ute på promenad. Plötsligt bleknade $f(x)=x^3$. "Vad är det? undrade $f(x)=e^x$. "Jag såg en deriveringsoperator där borta, och om jag träffar den tre gånger, så försvinner jag!" svarade $f(x)=x^3$. "Äsch, jag är inte rädd!" sa $f(x)=e^x$. "Jag går bort och snackar lite med den."

$f(x)=e^x$. $f(x)=e^x$ gick frejdigt bort mot deriveringsoperatorn. "Hej, jag är $f(x)=e^x$. Vem är du?" "Hej", svarade deriveringsoperatorn. "Jag heter $\frac{dy}{dt}$."

Förstår man den, borde man få A i Ma3!

Smaragdalena skrev:

Det finns en historia som är ungefär så här:

Det var en gång två funktioner som var ute på promenad. Plötsligt bleknade $f(x)=x^3$. "Vad är det? undrade $f(x)=e^x$. "Jag såg en deriveringsoperator där borta, och om jag träffar den tre gånger, så försvinner jag!" svarade $f(x)=x^3$. "Äsch, jag är inte rädd!" sa $f(x)=e^x$. "Jag går bort och snackar lite med den."

$f(x)=e^x$. $f(x)=e^x$ gick frejdigt bort mot deriveringsoperatorn. "Hej, jag är $f(x)=e^x$. Vem är du?" "Hej", svarade deriveringsoperatorn. "Jag heter $\frac{dy}{dt}$."

Förstår man den, borde man få A i Ma3!

 A- i sådant fall eftersom deriveringsoperatorn är $\frac{d}{dx}$ och inte $\frac{dy}{dx}$ ;) Uttrycket $\frac{dy}{dx}$ kan inte vara en operator eftersom det inte opererar på någonting, det ÄR en derivata av en funktion $y=f(x)$.

Till frågan. Jag tycker det finns en tid och plats för allting. Ska man lära sig derivera och förstå derivatan så ser jag ingen mening med att krångla till det okonventionella variabler eftersom elever inte har obegränsat med fokus och man därmed kan slarva bort det viktigaste med uppgiften. Däremot ser jag inget problem med att ha med lite av dessa exempel om man har en utökad diskussion om funktion- och integralbegreppet.

Jag skriver själv integraler på formen $\int_a^b dx \int_c^d dy (f(x,y))$ som är vanligt för fysiker och ibland blir uttryck som $\int d^4 x d^4 y$, dvs en enda integralsnok för t ex två integrationer över hela rumtiden, helt naturliga för mig när integralgränsen är densamma för alla dimensioner. Men när jag lär ut envariabelanalys för elever som går första året på högskola så byter jag till det som är konvention och skriver istället $\int_a^b f(x) dx$. Jag försöker även anpassa mina variabelnamn efter t ex kurslitteratur eller vad föreläsaren använder, för att eleverna skall ha lättare att "knyta ihop säcken". Jag vet själv hur irriterande det är när man försöker lära sig något och läraren försöker uppfinna hjulet på nytt genom att ta till någon metod som aldrig annars används bara för att.

Eftersom jag är och alltid varit mer av B-student så skulle det vara roligt att förstå Smaragdalenas vits.
Jag hittade denna på nätet och d/dy är tydligen den som kan tillintetgöra $e^x$

Är den svår att förklara? Det skulle vara roligt att förstå den dvs. sista rutan.

ConnyN skrev:

Eftersom jag är och alltid varit mer av B-student så skulle det vara roligt att förstå Smaragdalenas vits.
Jag hittade denna på nätet och d/dy är tydligen den som kan tillintetgöra $e^x$

Är den svår att förklara? Det skulle vara roligt att förstå den dvs. sista rutan.

 Ja. Om du deriverar med avseende på x så påverkas inte $e^x$ eftersom $\frac{d(e^x)}{dx}=e^x$, men om du deriverar med avseende på y så betraktas x som en konstant, dvs $\frac{d(e^x)}{dy} = 0$.

Vad menar den gråtfärdige mannen med "bitch"?

Laguna skrev:

Vad menar den gråtfärdige mannen med "bitch"?

Inte gråtfärdig, skrattande/hånleende.

Bitch please

Yngve skrev:

ConnyN skrev:

Eftersom jag är och alltid varit mer av B-student så skulle det vara roligt att förstå Smaragdalenas vits.
Jag hittade denna på nätet och d/dy är tydligen den som kan tillintetgöra $e^x$

Är den svår att förklara? Det skulle vara roligt att förstå den dvs. sista rutan.

 

 Ja. Om du deriverar med avseende på x så påverkas inte $e^x$ eftersom $\frac{d(e^x)}{dx}=e^x$, men om du deriverar med avseende på y så betraktas x som en konstant, dvs $\frac{d(e^x)}{dy} = 0$.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Oj var det så enkelt. Tack Yngve.

Liksom Laguna fattar jag inte bitch i rutan. Hoppas jag inte spridit något tokigt, meningen var att det skulle vara roligt. Borde bilden raderas?

Edit: Hittade denna förklaring.

Bitch Please
A response used when someone says something stupid or when somebody tries you.
"I want you to eat me out". The guy responds, "Bitch please".
by Urban Dictionary January 26, 2004

Även denna: Expresses incredulous disgust, usually in reaction to a statement that is incredible, false.

Yngve skrev:

Laguna skrev:

Vad menar den gråtfärdige mannen med "bitch"?

Inte gråtfärdig, skrattande/hånleende.

Bitch please

Någon bör lära sig teckna.

Jag kanske uttryckte mig lite fel. Jag var inte kritisk till uppgiften utan försökte belysa två sätt att se det. 

Jag håller helt med om att det inte är illa att göra fel och att lära sig av sina fel. Beror väl dock lite på också om det är en övningsuppgift eller bedömningsuppgift.

Jag känner dock bara att det ligger långt ifrån gängse bruk att använnda "x" och "a" på detta sätt och att ingen av oss nog skulle välja att använda dessa bokstäver på det sättet. 

Negativ förvirring är inget etablerat begrepp utan det som jag syftade på var att det kan finnas risk att eleverna blandar ihop det ännu mer när nu plötsligt x är konstant och a är variabel men sen kommer det gälla tvärt emot framöver igen. Många elever lär ju sig tyvärr inte matematik på djupet att förstå utan har automatiserade system för att lösa uppgifter. 

Om man efter detta har en diskussion eller en lärare som förklarar hur det fungerar med variabel och konstanter tror jag det kan bli en riktigt bra poäng och lärdom men om eleven arbetar med den på egen hand kan det bli svårare.

Som sagt, jag var mest intresserad av era åsikter kring uppgiften.