Matematik Specialisering Variabelsubstitution + Partialbråksfördelning

Hejsan, förstår inte vad jag gör fel i den här frågan:

"Bestäm $\int f\left(x\right)dx =$$\int \frac{3x-12}{x^2+4x+13}dx$genom substitutionen x = 3t -2"

Min (felaktiga) lösning:

x = 3t-2 gav att $t =\frac{x+2}{3}$, dx = 3dt

Då fick jag: $\int f\left(x\right)dx$= $\int \frac{3\left(3\right(3t-2)-12)}{{(3t-2)}^2+4(3t-2)+13}dt$= $\int \frac{27t-54}{9t^2+9}dt$=$3\int \frac{t-2}{t^2+1}$dt =$3\int \frac{t}{t^2+1}dt-6\int \frac{1}{t^2+1}dt$

Jag löste den första av dessa integraler med variabelsubstitutionen $u=t^2+1$ $\to$$\frac{du}{dt}=2t \leftrightarrow dt =\frac{du}{2t}$

Detta gav mig: $3\int \frac{t}{t^{2 }+1}dt =3\int \frac{t}{u2t}du = \frac{3}{2}\int \frac{1}{u}du =\frac{3\ln \left(u\right)}{2} =\frac{3\ln \hspace{0.17em}(t^2+1)}{2} =\frac{3\ln ({\left({\displaystyle \frac{x+2}{3}}\right)}^2+1)}{2}=\frac{3\ln \left({\displaystyle \frac{x^2+4x+13}{9}}\right)}{2}$

Jag löste ut att $-6\int \frac{1}{t^2+1}dt =-6arc\tan \left(t\right) =-6arc\tan \left(\frac{x+2}{3}\right)$

Mitt svar blev alltså: $\int f\left(x\right)dx =\frac{3\ln \left({\displaystyle \frac{x^2+4x+13}{9}}\right)}{2}-6arc\tan \frac{x+2}{3}+C$

Rätt svar är: $\int f\left(x\right)dx =\frac{3\ln (x^2+4x+13)}{2}-6arc\tan \left(\frac{x+2}{3}\right)+C$

Jag förstår inte vad jag gör för fel i min uträkning som får uttrycket inom ln att bli 9 gånger för litet.