Matematik specialisering: MacLaurinserie.

Om du redan vet att

$\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n$

behöver du ju inte derivera något för att ta fram en Maclaurinserie för $\frac{1}{1+x^3}$, du behöver ju bara sätta in $-x^3$ istället för $x$ ovan.

Sedan kan du även tänka på att du ska multiplicera serien med $x^2$, och alltså kommer du bara behöva utveckla till grad 6 eftersom multiplikationen med $x^2$ kommer öka graden två steg.

AlvinB skrev:

Om du redan vet att

$\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n$

behöver du ju inte derivera något för att ta fram en Maclaurinserie för $\frac{1}{1+x^3}$, du behöver ju bara sätta in $-x^3$ istället för $x$ ovan.

Sedan kan du även tänka på att du ska multiplicera serien med $x^2$, och alltså kommer du bara behöva utveckla till grad 6 eftersom multiplikationen med $x^2$ kommer öka graden två steg.

Tack för hjälpen.

Tyvärr så förstår jag fortfarande inte riktigt. Jag jobbar på det.

Hur undviker jag att derivera flera gånger?

Vi vet att:

$\dfrac{1}{1-x}=$ $1+x+x^2+x^3+x^4+\mathcal{O}(x^5)$

Om vi sedan byter ut $x$ mot $-x^3$ får vi:

$\dfrac{1}{1-(-x^3)}=$ $1-x^3+(-x^3)^2+(-x^3)^3+(-x^3)^4+\mathcal{O}((-x^3)^5)$

vilket vi kan förenkla till:

$\dfrac{1}{1+x^3}=$ $1-x^3+x^6-x^9+x^{12}+\mathcal{O}(x^{15})$

Ser du poängen nu?

AlvinB skrev:

Vi vet att:

$\dfrac{1}{1-x}=$ $1+x+x^2+x^3+x^4+\mathcal{O}(x^5)$

Om vi sedan byter ut $x$ mot $-x^3$ får vi:

$\dfrac{1}{1-(-x^3)}=$ $1-x^3+(-x^3)^2+(-x^3)^3+(-x^3)^4+\mathcal{O}((-x^3)^5)$

vilket vi kan förenkla till:

$\dfrac{1}{1+x^3}=$ $1-x^3+x^6-x^9+x^{12}+\mathcal{O}(x^{15})$

Ser du poängen nu?

Ja. Jag hade missförstått ett moment.