Matematik provet 2009 fråga 27

Bra att du berättar hur du har försökt.

Har du prövat att multiplicera andra ekvationen med 2 innan du summerar dem?

om man inte kommer på Yngves fiffiga tips så går den att lösa som du föreslog

lös ut x ur andra ekv  och sätt in i den första

$\frac{{21}^2}{y^2}+y^2 = 58$

${21}^2+y^4 = 58y^2$

som vi kan lösa i y²

$y^2= \frac{58}{2}\pm \sqrt{{29}^2-{21}^2}$

som har två reella positiva lösningar. (värdet under roten > 0 )

Drar vi sen roten ur bägge led får vi två lösningar till vardera lösning på y² sen kan vi bestämma ett x till varder av de fyra y värdena.

Då är vi hemma eftersom vi nu vet att det finns 4 lösningar

Genom att tänka på hur graferna ser ut kan du sluta dig till varför det blir just fyra lösningar.
Den enda beräkning som behövs är kontrollen av att kurvorna inte ligger helt utanför cirkeln (eller tangerar den).
Du kan använda punkten (x, x) på ena kurvan, som ligger på avståndet  $\sqrt{2*21}$ från origo, alltså innanför cirkeln som har radien $\sqrt{58}$.

Tack alla för hjälpen! 

Jag har löst den nu och tänkte att jag kan posta svaret här så andra kan få hjälp.

Jag gjorde som Yngve sa och fick tillslut att: ${\left(x+y\right)}^2=100$

Så summan av x och y ska vara 10 eller (-10) för att ekvationen ska gälla.

Sen gjorde jag som Ture berättade. Löste ut x som blev $x=\frac{21}{y}$ från andra ekvationen och satte in den i första ekvationen.

Tillslut fick jag $y^2=\frac{58}{2}\pm \sqrt{{29}^2-{21}^2}$ (pq- formeln)

Om man är på uppställning så kan man få uttrycket under rotuttrycket till 400 och roten ur 400 blir $\pm$20.

$$\begin{gathered} y^2=29\pm 20, (49 eller 9) \\ glöm inte att x=\frac{21}{y} \\ {y}_1=3 \iff x_1=7 \\ {y}_2=-3\iff x_2=-7 \\ {y}_3=7\iff x_3=3 \\ {y}_4=-7\iff x_4=-3 \end{gathered}$$

Om man är extra uppmärksam så ser man att summan av x och y för varje lösningspar blir 10 eller -10 så det stämmer med det vi hittade från början. Det finns totalt 4 lösningspar alltså.