Matematik och fysikprovet 2015 fråga 15

Om du skriver $\TeX$-kod så använd \cdot för att få $\cdot$ som multiplikationstecken eller \times för den andra typen $\times$. Motsvarande finns i editorn. 

Du skriver ut ekvationer som är kopplade till relevanta koncept men du verkar inte organisera dem i någon särskill ordning.

För att komma rätta med den typen av problematik som kan uppstå vid problemlösnig så rekommenderar jag att du på ett tydligare sätt "arbetar bakåt" från frågan. (begrepp från Polyas fyra faser) Dvs att du organiserar det du ska bestämma utifrån att ställa en serie frågor om vad som är relevant och vad som behövs. 

Ett exempel på hur det skulle kunna gå: 

- Vad är det jag behöver bestämma?

Lyftkraften på balongen.

- Hur kan jag göra det?

Med arkimedes princip.

- Vad behöver jag veta för att kunna använda arkimedes princip?

Densitet hos luft och densitet hos varm luft. 

Vad vet jag om det?

Jag vet att kall luft har densitet runt 1kg/m^3 men inte mer än det. Varm luft har lägre densitet.

Kan den lägre densiteten beskrivas på något vid?

Ideala gaslagen. 

- Vad behöver jag för det?

Volym, tryck och substansmängd hos gasen (samt konstanter) eller motsvarande storheter.

- Vilka av dem vet jag?

Volym, tryck (10^5 Pa),  gaskonstanten (om man memorerat den), men inte substansmängd? 

- Hur kan jag bestämma substansmängden? [om man inte vet gaskonstanten blir det en gren finna/komma runt den]

...

När man väl kommer till botten så bestämmer man det man behövde för att besvara frågorna nedifrån och vandrar uppåt i listan tills man kommit tillbaka till lyftkraft. Ibland fungerar inte detta som en algoritm men man lyckas alltid identifiera den relevanta informationen och i vilken ordning man behöver ta reda på saker. 

Ofta upptäcker man även att saker man trodde att man behövde inte behövdes för att de tar ut varandra. 

När man väl gjort detta några gånger behöver man inte längre skriva ned det utan den här typen av planer kommer naturligt men om man aldrig är systematisk så utvecklar man inte problemlösningsförmåga. 

Nu tror jag inte att alla andra också kommer ihåg att 1 mol av vilken gas som helst har en volym på cirka 25 liter vid rumstemperatur eller att medelmolmasssan för luft är 29 g/mol (lite tyngre än kvävgasens 28 g/mol) men det är väl inte alldeles omöjligt att komma ihåg att luft har densiteten ungefär 1 g/liter eller 1 kg per kubikmeter. Observera att detta bara är ett väldigt ungefärligt värde.

Det är lite poängen. Vägen man tar genom monologträdet beror på vad man själv redan kan snarare än att det finns en enda väg att ta. 

Tack för svaren. Jag känner till de värderna, men jag ser för stunden inte hur jag ska kunna lösa problemet med de? Jag vet att jag behöver nyttja arkimedes princip för att ballongen tränger undan en viss volym luft. Jag har densiteten för luft $rho=1.2kg/m^3$ jag kan finna massan genom $rhoV=m$. Sen vet jag att lyftkraften ska vara lika stor som tyngden av luften i ballongen och korgen.

Mitt sätt att lösa problemet eftersom jag vet att luft har en densitet runt 1kg/m^3 (eftersom jag var tvungen att lära mig det två månader sedan när jag undervisade en lektion om det...)

Jag ska bestämma

$F = (\rho_u - \rho_i)gV$

Jag har densiteten hos kall luft så jag behöver densiteten hos varm luft.

Ideala gaslagen på densitetform kan vara användbar

$p = \frac{\rho}{M}RT$

Gasen utanför och innanför och utanför har samma molmassa och tryck så vi kan nyttja att uttryck byggda av de faktorerna ger sama 

$\frac{pM}{R} = \rho T$

Så för de två gaserna, utanför och inuti gäller

$\rho_u T_u = \rho_i T_i$

Detta ger oss

$\rho_i = \frac{T_u}{T_I} \rho_u \approx \frac{300}{400} \rho_o = \frac{3}{4}\rho_o$

dvs att densiteten inuti är ungefär 3/4 av densiteten utanför balongen. Hade jag varit klipskare hade jag nog vetat det förhållandet på rak arm. 

Ett exakt uttryck för lyftkraften är

$F = (\rho_u - \rho_i)gV = (1 - \frac{T_u}{T_i})\rho_u g V$

som nu innehåller bara saker jag vet. Detta ska vara lika med korgmassan $m$

$mg = (1 - \frac{T_u}{T_i})\rho_u g V$

eller

$m = (1 - \frac{T_u}{T_i})\rho_u V \approx \frac{1}{4} (1\,kg/m^3)\frac{4}{3}(3)(10\,m)^3 = 10^3 kg$

Där jag alltså tog $\pi\approx 3$. Ett ton verkar vara ungefär lyftkraften vilket känns någorlunda rimligt. 

SeriousCephalopod skrev:

Mitt sätt att lösa problemet eftersom jag vet att luft har en densitet runt 1kg/m^3 (eftersom jag var tvungen att lära mig det två månader sedan när jag undervisade en lektion om det...)

Jag ska bestämma

$F = (\rho_u - \rho_i)gV$

Jag har densiteten hos kall luft så jag behöver densiteten hos varm luft.

Ideala gaslagen på densitetform kan vara användbar

$p = \frac{\rho}{M}RT$

Gasen utanför och innanför och utanför har samma molmassa och tryck så vi kan nyttja att uttryck byggda av de faktorerna ger sama 

$\frac{pM}{R} = \rho T$

Så för de två gaserna, utanför och inuti gäller

$\rho_u T_u = \rho_i T_i$

Detta ger oss

$\rho_i = \frac{T_u}{T_I} \rho_u \approx \frac{300}{400} \rho_o = \frac{3}{4}\rho_o$

dvs att densiteten inuti är ungefär 3/4 av densiteten utanför balongen. Hade jag varit klipskare hade jag nog vetat det förhållandet på rak arm. 

Ett exakt uttryck för lyftkraften är

$F = (\rho_u - \rho_i)gV = (1 - \frac{T_u}{T_i})\rho_u g V$

som nu innehåller bara saker jag vet. Detta ska vara lika med korgmassan $m$

$mg = (1 - \frac{T_u}{T_i})\rho_u g V$

eller

$m = (1 - \frac{T_u}{T_i})\rho_u V \approx \frac{1}{4} (1\,kg/m^3)\frac{4}{3}(3)(10\,m)^3 = 10^3 kg$

Där jag alltså tog $\pi\approx 3$. Ett ton verkar vara ungefär lyftkraften vilket känns någorlunda rimligt. 

Tack så mycket! Visst antog du att tempreturen utanför var 20 celsius?

indhelpmathematica skrev: Tack så mycket! Visst antog du att tempreturen utanför var 20 celsius?

Ja, jag måste anta att det är runt den temperaturen och 300K är den enklaste avrundningen. Jag kunde antagit 0C eller 50C och storleksordningen på svaret hade fortf. varit densamma. 

SeriousCephalopod skrev:

Mitt sätt att lösa problemet eftersom jag vet att luft har en densitet runt 1kg/m^3 (eftersom jag var tvungen att lära mig det två månader sedan när jag undervisade en lektion om det...)

Jag ska bestämma

$F = (\rho_u - \rho_i)gV$

Jag har densiteten hos kall luft så jag behöver densiteten hos varm luft.

Ideala gaslagen på densitetform kan vara användbar

$p = \frac{\rho}{M}RT$

Gasen utanför och innanför och utanför har samma molmassa och tryck så vi kan nyttja att uttryck byggda av de faktorerna ger sama 

$\frac{pM}{R} = \rho T$

Så för de två gaserna, utanför och inuti gäller

$\rho_u T_u = \rho_i T_i$

Detta ger oss

$\rho_i = \frac{T_u}{T_I} \rho_u \approx \frac{300}{400} \rho_o = \frac{3}{4}\rho_o$

dvs att densiteten inuti är ungefär 3/4 av densiteten utanför balongen. Hade jag varit klipskare hade jag nog vetat det förhållandet på rak arm. 

Ett exakt uttryck för lyftkraften är

$F = (\rho_u - \rho_i)gV = (1 - \frac{T_u}{T_i})\rho_u g V$

som nu innehåller bara saker jag vet. Detta ska vara lika med korgmassan $m$

$mg = (1 - \frac{T_u}{T_i})\rho_u g V$

eller

$m = (1 - \frac{T_u}{T_i})\rho_u V \approx \frac{1}{4} (1\,kg/m^3)\frac{4}{3}(3)(10\,m)^3 = 10^3 kg$

Där jag alltså tog $\pi\approx 3$. Ett ton verkar vara ungefär lyftkraften vilket känns någorlunda rimligt. 

Jag kanske har missförstått någonting men vid ekvation 7 "$$mg=(1-TuTi)ρugVmg = (1 - \frac{T_u}{T_i})\rho_u g V$$" så får vi ut massan på korgen. Den vikt som ballongen kan lyfta är väl luften i ballongen plus korgen? Inte enbart massan på korgen?

Med korg menar jag korg, balongskal, rep, passagerare, osv exkluderat ballongens innehåll (vars massa redan är inkluderad i uttrycket för F)

m är, i kortade ord, det som kan lyftas utöver luften i balongen självt och får anses vara det uppgiften frågar efter.

SeriousCephalopod skrev:

Med korg menar jag korg, balongskal, rep, passagerare, osv exkluderat ballongens innehåll (vars massa redan är inkluderad i uttrycket för F)

m är, i kortade ord, det som kan lyftas utöver luften i balongen självt och får anses vara det uppgiften frågar efter.

Jag förstår inte just nu men ska kolla igenom din lösning några gånger. Tack!