Matematik och fysikprovet 2010

Problemet kommer när du gör förkortningen $\sqrt{{\sin }^{2}x}=\sin x$. Allmänt gäller att $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$. Du måste alltså räkna med både $\sin x=\frac{1}{2}$ och $\sin x=-\frac{1}{2}$. Lyckligtvis ger de samma lösningar, förutom att de har ombytt tecken. Du får alltså $2x_1^2+2x_2^2=2\frac{13{\mathrm{\pi }}^2}{18}=\frac{13{\mathrm{\pi }}^2}{9}$. :) 

Smutstvätt skrev:

Problemet kommer när du gör förkortningen $\sqrt{{\sin }^{2}x}=\sin x$. Allmänt gäller att $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$. Du måste alltså räkna med både $\sin x=\frac{1}{2}$ och $\sin x=-\frac{1}{2}$. Lyckligtvis ger de samma lösningar, förutom att de har ombytt tecken. Du får alltså $2x_1^2+2x_2^2=2\frac{13{\mathrm{\pi }}^2}{18}=\frac{13{\mathrm{\pi }}^2}{9}$. :) 

Tack för ditt snabba svar :)

Hej!

För att kvadratrötterna ska vara definierade måste talet $x$ vara sådant att $1-\cos x \geq 0$ och $1+\cos x\geq 0$ det vill säga $-1\leq \cos x \leq 1.$ Cosinusfunktionens värdemängd ligger precis i detta intervall vilket betyder att kvadratrötterna är definierade för alla tänkbara reella tal $x$, speciellt för de reella talen mellan $-\pi$ och $\pi$ som är aktuellt i detta problem.

Lärdom: Man ska alltid undersöka kraven för kvadratrötter och för andra funktioner som figurerar i det aktuella problemet som ska lösas.

Du skriver fel efter kvadreringen; det ska vara implikation och inte likhet. 

Konjugatregeln tillsammans med Trigonometriska ettan ger

    $(1-\cos x) + 2\sqrt{\sin^2 x} +(1+\cos x) = 3 \implies 1+\sqrt{\sin^2 x} = 3/2.$

Sedan gör du fel när du tror att $\sqrt{\sin^2 x} = \sin x$; det korrekta är istället absolutbelopp $\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ eftersom kvadratrot aldrig är negativ.

Lärdom: Kvadratrot är aldrig ett negativt tal och speciellt gäller $\sqrt{x^2} = |x|$.

Det borde ha gett dig ekvationen

    $|\sin x| = \frac{1}{2} \iff \sin x = \frac{1}{2} \text{ eller } \sin x = -\frac{1}{2}.$

Smutstvätt skrev:

Problemet kommer när du gör förkortningen $\sqrt{{\sin }^{2}x}=\sin x$. Allmänt gäller att $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$. Du måste alltså räkna med både $\sin x=\frac{1}{2}$ och $\sin x=-\frac{1}{2}$. Lyckligtvis ger de samma lösningar, förutom att de har ombytt tecken. Du får alltså $2x_1^2+2x_2^2=2\frac{13{\mathrm{\pi }}^2}{18}=\frac{13{\mathrm{\pi }}^2}{9}$. :) 

Hej! 

Jag håller med att lösa samma fråga här, men jag fattar inte riktigt det där med att sinx= 1/2 och sinx= - 1/2 

gäller inte bara det positiva värdet alltså endast sin x = 1/2 ?? 

Hmowed skrev:

gäller inte bara det positiva värdet alltså endast sin x = 1/2 ?? 

Nej, fundera på varför det skulle vara så. Är sin(x) > 0 för alla x i intervallet?

Albiki skrev:

Hej!

För att kvadratrötterna ska vara definierade måste talet $x$ vara sådant att $1-\cos x \geq 0$ och $1+\cos x\geq 0$ det vill säga $-1\leq \cos x \leq 1.$ Cosinusfunktionens värdemängd ligger precis i detta intervall vilket betyder att kvadratrötterna är definierade för alla tänkbara reella tal $x$, speciellt för de reella talen mellan $-\pi$ och $\pi$ som är aktuellt i detta problem.

Lärdom: Man ska alltid undersöka kraven för kvadratrötter och för andra funktioner som figurerar i det aktuella problemet som ska lösas.

Du skriver fel efter kvadreringen; det ska vara implikation och inte likhet. 

Konjugatregeln tillsammans med Trigonometriska ettan ger

    $(1-\cos x) + 2\sqrt{\sin^2 x} +(1+\cos x) = 3 \implies 1+\sqrt{\sin^2 x} = 3/2.$

Sedan gör du fel när du tror att $\sqrt{\sin^2 x} = \sin x$; det korrekta är istället absolutbelopp $\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ eftersom kvadratrot aldrig är negativ.

Lärdom: Kvadratrot är aldrig ett negativt tal och speciellt gäller $\sqrt{x^2} = |x|$.

Det borde ha gett dig ekvationen

    $|\sin x| = \frac{1}{2} \iff \sin x = \frac{1}{2} \text{ eller } \sin x = -\frac{1}{2}.$

Förstår inte varifrån 2\sqrt{\sin^2 x} kommer?

Förstår inte varifrån 2\sqrt{\sin^2 x} kommer?

Kvadreringsregeln. Den "mittersta" termern $2ab$ är lika med $2\cdot\sqrt{1-\cos{x}}\cdot\sqrt{1+\cos{x}}=2\cdot\sqrt{\left(1-\cos{x}\right)\left(1+\cos{x}\right)}$. Använd nu konjugatregeln och trigonometriska ettan.