Matematik fråga om summor

Har du testat att använda ett induktionsbevis? Skriv ut de första termerna så kanske du lägger märke till ett intressant samband för $k\binom{n=p}{k}$ och $p+1$. Ett alternativt angreppssätt är att använda dina kunskaper om Pascals triangel i kombination med Pascals identitet.

$\displaystyle \binom{p+1}{k}=\binom{p}{k}+\binom{p}{k-1}$

Tänk också på att $\binom{a}{a+m}=0$ då $m>0$

Går naturligtvis också att visa med ett kombinatoriskt resonemang.

Om man tänker sig en förening med n medlemmar, där man ska välja en styrelse och sedan en ordförande bland styrelsemedlemmarna. Det vi ska visa är då att det finns lika många sätt att göra detta så att antalet styrelsemedlemmar är jämnt och så att antalet styrelsemedlemmar är udda.

Betrakta nu två skilda medlemmar A och B:

Antal styrelser där A är ordförande och där B ingår och som totalt har udda antal medlemmar =

Antal styrelser där A är ordförande och där B inte ingår och som totalt har jämnt antal medlemmar

och

Antal styrelser där A är ordförande och där B ingår och som totalt har udda antal medlemmar =

Antal styrelser där A är ordförande och där B inte ingår och som totalt har jämnt antal medlemmar.

Addera ekvationerna och vi får:

Antal styrelser där A är ordförande med ett udda antal medlemmar =

Antal styrelser där A är ordförande med ett jämnt antal medlemmar

Summer över alla olika val av A och vi får:

Antal styrelser med ett udda antal medlemmar = Antal styrelse med ett jämnt antal medlemmar.