Matematik 5000+ Blandade uppgifter 1-2 Uppgift 25
Undersök för vilka värden på a och b ekvationen sinax=bx har tre lösningar, om f är givet i radianer (a>0, b>0).
Jag vet att b<a.
Kommer inte längre än att jag ser att jag behöver hitta två punkter där bx tangerar kurvan för sinax, och att x-värdet i de punkterna är någonting multiplicerat med 2pi/a.
Jag skulle rita först för att få en uppfattning.
Jaha, det hade du gjort, i en annan tråd.
Inte superbra ritat, men jag hoppas man förstår. Den linjen med negativ lutning ska inte vara där för jag kom på sen att b>0.
Det är ju mycket bra ritat, och du har identifierat vad man ska leta efter också. Det återstår bara att ta reda på hur man löser saken i t.ex. desmos eller geogebra, och det är jag inte så bra på.
Kan du säga vad för ekvation du söker lösningen till?
Jag har ett förslag på iterativ lösning som man kan göra med miniräknare.
Åh, tack så mycket! Jag tänkte att om jag vet punktens värden då kan jag ta reda på lutningen för bx, alltså vad b är. Jag behöver egentligen bara en punkt för jag vet också att bx går genom origo.
Lösningen på uppgiften får jag om jag tar reda på vad b är i detta fallet. För att ekvationen ska ha tre lösningar måste b vara större än det värdet på b jag söker.
Jag undersökte sinx=bx nu istället för jag tänker att då kan jag ta hjälp av min grafräknare.
Jag deriverade båda leden: cosx=b
Och jag skrev om ursprungsekvationen: (sinx)/x=b
cosx=(sinx)/x tänker jag är ett samband. x-värdena där dessa skär sig är x-värdena där bx tangerar sinx.
Så jag skrev in y=cosx och y=(sinx)/x i min grafräknare och ser att de skär sig där x=7,7252518. Det är andra skärningspunkten till höger om origo.
b=deltay/deltax= (sin7,7252518)/7,7252518 som blir ungefär 0,128.
I facit står det 0,128a<b<a.
Vet inte vad nästa steg jag ska göra är. Hur får jag det till 0,128a.
Man kan betrakta problemet utan vare sig a eller b, för det är essentiellt samma problem oberoende av om man ändrar skalan på x-axeln.
Men du kan i stället ha kvar både a och b och göra samma uträkning, så borde du komma fram.
Här är min iterationsformel: x = arctan(x) + . Man kan sätta x till 7 från början.
Det där 0,128 är 1/7,7525.
