Matematik 5000+ 4 Blandade uppgifter 1-2 Uppgift 25

Undersök för vilka värden på a och b ekvationen sinax=bx har tre lösningar, om x är givet i radianer och a>0, b>0.

Det står i facit att man ska lösa uppgiften med digitalt verktyg. Jag försöker hitta vart bx tangerar sinuskurvan i två punkter. Men jag vet inte hur jag ska hitta x-värdet för dessa punkter. Jag har ingenting att gå på. Jag vet bara att x-värdet ska vara någonting multiplicerat med 2pi/a. Det är de punkterna jag ringat in med rött som jag söker.

Om den högra punkten som du ringat in kallas för $x_2$ och linjen $y=bx$ tangerar sinuskurvan $y=\sin(ax)$ i denna punkt, så får man följande ekvationssystem:

$\sin(a x_2) = b x_2$ (då $x_2$ är skärningspunkten för linjen och sinuskurvan)
$a \cos(a x_2) = b$ (då sinuskurvans lutning i denna punkt ska vara lika med linjens lutning)
Enligt figuren ligger $x_2$ mellan $2\pi /a$ och $2,5 \pi/a$

Om man dividerar första ekvationen med den andra, så får man ekvationen $\frac{\tan (a x_2)}{a} = x_2$ , vilket kan skrivas om som $\tan(ax_2) = ax_2$ .

Variabelbytet $t_2 = ax_2$ ger ekvationen $\tan t_2 = t_2$ där man söker lösningen $t_2$ som ligger mellan $2\pi$ och $2,5\pi$ . På miniräknaren/desmos hittar man lösningen $t_2 \approx 7,73$ .

Enligt andra ekvationen i punktlistan ovan är $b = a \cos(t_2) \approx 0,128 a$ . Detta värde på $b$ är alltså gränsfallet där man får fler än tre lösningar.

Jag tror de menar så här, och med tanke på din skiss.

Svara