Matematik 5- Drinkglas redovisningsuppgift. Hjälp uppskattas.

Rita upp din funktion. Lägg upp bilden här, så att vi kan se om den är likadan som glaset i förstainlägget!

Mellan origo och minimipunkten av grafen är redan given av skissen (y=x)

Inte särskilt likt, tycker jag, men det kan vara en synvilla. Kan du lägga in de raka delarna också? Och markera de punkter som är markerade i ursprungsbilden!

Nu har jag redigerat den lite i Microsoft paint så att det kanske är lite tydligare. Mellan x = 0 och x = 2,5 gäller y=x. Därefter fram tills x = 5 så gäller formeln y = 0,4x²-2x+5
Det blir spegelvänt på andra sidan för att bli en hel bild. Såhär har jag tänkt att det ska vara iallafall.*

Edit: Lade in en till bild som visar punkterna i skisssen

Nu ser det bra ut, tycker jag (så det var väl en synvilla).  

Rotationsvolym verkar som en ypperlig idé. Skalmetoden eller  skivmetoden?

Det är här jag har fastnat.  I varken matematik 5 origo eller matematik 4 5000 så hittar jag ingenting om skalmetoden. Jag hittar skivmetoden däremot

Skivmetoden borde fungera, men du behöver dela upp det i två olika intervall. 

Är detta korrekt? 
Behövs ingen tredje volym för fyrkanten som bildas över y=x men till vänster om y=0,4x²-2x+5?

Om du tänker använda skivmetoden, behöver du ha y som integrationsvariabel. Då har du först skivor som har radien x = y (men du kan lika gärna räkna med en kon istället). Från y = 2,5 till y = 4,1 använder  du andragradsuttrycket, (fast du behöver nog skriva om det) och från 4,5 till 5 är det en stympad kon.

Det ser ut som om det kanske skulle vara enklare att använda skalmetoden.

Ok. Så Volymen för konen,V₁ = (4 * 3,14 * 2,5³) / 3 blir 49 cm³

För att räkna volymen för y=2,5 till y=4,1 används: ${\int }_{2.5}^{4.1}\mathrm{\pi }(0,4\mathrm{x}^2 -2\mathrm{x} + 5) \mathrm{dx}$. Èller ska detta skrivas om till...?

För y=4,1 till y=5 används vilken formel?????
Eller

Tillägg: 7 maj 2022 21:51

Jag ser att jag använde fel formel, kolla nedanför.

Ok, nu har jag letat runt lite grann. Jag tror att detta är korrekt

V₁= (3,14 * 2,5² * 2,5) / 3 = 16,35 cm³. Skrev bara lite fel tidigare

V₂=${\int }_{2.5}^{4.1}\pi \times \left(\right(0,4x^2-2x+5\left)\right(0,4x^2-2x+5\left)\right) dx$= 41 cm³

V₃= ((3,14 * h) / 3) * (r₁²  + r₁r₂ + r₂²) = ((3,14 * 0,9)/3) * (4,5² + 4,5 * 5 + 5²) = 63,82 cm³

V = 16,35 + 41 + 63,82 = 121,17 cm³ = 0,12 liter
Stämmer detta tror du?

Hej, jag håller också på med denna fråga och försöker göra det med skalmetoden istället för skivmetoden, jag gjorde likadant ekvationssystem och fick samma svar. formeln för skalmetoden är 2π ∫ xy dx (där x2 är övre gräns och x1 lägre gräns).  i detta fall får jag v= ∫x(0.4x^2-2x+5) = 2π ∫[(0.1x^4) - (2x^3/3) + (5x^2/2)]. mitt problem är jag vet inte vilka gränser som jag ska använda, har testat integralen ovan med lägre gräns -5 och övre gräns 5, och får detta till 2000π/3 = ca 2094cm^3 = 2.094 liter. Detta känns inte rimligt särskilt då Propanal fick 0.12 liter. vad har jag gjort fel?

Skalmetoden går ut på att dela in rotationskroppen I ett stort antal cylindriska skal centrerade runt rotationsaxeln (y-axeln I detta fallet).

Du måste i det här fallet dela in rotationskroppen i olika delar även om du använder skalmetoden.

Visa med en skiss hur du delar in rotationskroppen i olika delar så tar vi det därifrån.

Har delat upp den i 2 delar, ena är hela övre och den andra är konen. Dock förstår jag inte skalmetoden helt då det inte är inkluderat i vår matematik 5 bok.

varför kan jag inte göra: 2π (lägre gräns 0, övre gräns 5)∫ x(5-0.4x^2-2x+5) -->

V=2Π (gräns 0 resp 5) ∫ [-0.1x^4 - 2x^3/3 + 5x^2] =250π/3 = 0.261 l ? 

Om du gör så så måste du ändå dela upp den övre deln i två delar innan du kan integrera med skalmetoden. Detta eftersom skalens höjd inte går att beskriva på något enkelt sätt annars.

Jag skulle dela upp glaset i de tre delarna (se bild)

• A: En kon vars volym kan vetöknas utan integral.
• B: En cylinder vars volym kan beräknas utan integral.
• C: En "ring" runt cylindern vars volym kan beräknas med hjälp av skalmetoden.

Här finns ett exempel på tillämpning av skalmetoden på en annan uppgift.

Är detta korrekt? Där t(x) är del ”A” 

B = k(x) är volymen för  del ”A”

och C volymen för del ”B” 

Där V=147cm^3 eller 0.147 l 

Redigering: märker att uträkningarna som står är fel inmatade och volymen blir ca 243cm^3 om det matas in korrekt

Det är lite förvirrande att du döper punkter till A, B, C och D när vi samtidigt kallar områdena A, B och C.

Dessutom kallar du volymen av område A för b, volymen av område B för c och volymen av område C för A.

Du har fått fram rätt volym på cylindern, men de andra två beräkningarna stämmer inte.

Volymen av en kon är ju $V_{kon}=\frac{\pi r^2h}{3}$, vilket med radie $r=2,5$ och höjd $h=2,5$ blir $V_{kon}\approx16,36$ cm³.

När du beräknade volymen av område C så hade du fel integrand.

Ett skal på avstånd x från rotationsxeln har omkrets $2\pi\cdot x$, höjd $5-(0,4x^2-2x+5)=2x-0,4x^2$ och tjocklek $\operatorname dx$.

Integranden ska därför vara $2\pi\cdot x(2x-0,4x^2)$