Matematik 5 - Ann-Charlotte och hennes förbaskade kryddsamling

Frågan säger att hon dels vill ha en burk med varje enskild krydda, dels alla tänkbara blandningar av dem.

Tack! Är väl jag som är lite trött antar jag.

Hur som helst, vet ej varför inlägget kom i femfaldig upplaga. Inte min mening! (ser att du är moderator).

Jag har raderat ett antal dubbelposter som jag har gjort själv idag (och det är inte första gången). Ibland har datorn eller routern eller mobilen fått hicka, tror jag!

Följdfråga: Ett annat sätt att få fram antalet möjliga "sorters burkar" är genom beräkningen

   $2^6-1=63$.

Varför fungerar detta?

 Har nu suttit och smält din följdfråga i ett dygn, och kan fortfarande inte komma på hur det hela förhåller sig. Är dock väldigt nyfiken på varför$2^6 - 1$ = 63 ger rätt svar.

Du får hemskt gärna förklara hur det hela fungerar! 

För varje krydda har du valet"är med i burken" eller"är inte med i burken". Det ger 2^6.

Ser du varför du ska dra bort en?

För att det blir en burk där ingen krydda är med i burken?

Eftersom vi har valet "är med- eller är inte med i burken" så finns det ett val där vi väljer att kryddan inte är med i burken för alla 6 kryddorna. Således får vi en burk för mycket.

Är jag rätt ute?

Helt rätt.

MovableAdam skrev:

För att det blir en burk där ingen krydda är med i burken?

Eftersom vi har valet "är med- eller är inte med i burken" så finns det ett val där vi väljer att kryddan inte är med i burken för alla 6 kryddorna. Således får vi en burk för mycket.

Är jag rätt ute?

 Bra!

Mycket bra! :D

Man kan generalisera argumentet du precis gjorde till ett bevis av följande snygga resultat:

Sats 1. För varje naturligt tal $n$ gäller att

  $\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}=2^n$

Det är en smidig sats att ha i bakfickan om man stöter på något som ungefär ser ut som vänsterledet, eftersom högerledet ju är betydligt enklare att räkna ut än vänsterledet.

Ett alternativt bevis för satsen (men jag gillar det kombinatoriska resonemanget i den här tråden mycket bättre!) är att säga att den är ett specialfall av den så kallade binominalsatsen, som ni kanske har stött på eller kommer att stöta på i Matte 5.

Sats 2 (Binominalsatsen). För reella tal $x$ och $y$, och för ett naturligt tal $n$ gäller 

  $\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+\cdots+\binom{n}{n-1}x^1y^{n-1}+\binom{n}{n}y^n=(x+y)^n\,.$

Den brukar oftast läsas från andra hållet (från högerledet till vänsterledet, så som jag har skrivit den här), men den kan så klart läsas även från vänster till höger. Sätt in $x=1$ och $y=1$ och voilà: Sats 1 följer!

"Sats 2" utbytt till "Sats 1" på användarens begäran. /Smutstvätt, moderator

Stort tack för ditt engagemang Oggih, och alla andras också, givetvis!

Matematik är verkligen fantastiskt roligt och intressant när det lossnar för en hur dessa satser och formler faktiskt härleds.

Tackar ödmjukast!