matematik 3c, limes gränsvärde

Prova att faktorisera täljare och nämnare! Har du gjort det tidigare? Om inte, eller om du behöver en uppfräschning, kan du läsa om det här. 

Använd formelskrivaren eller LaTeX för att skriva. Så här blir det med LaTeX:

$\lim_{t\rightarrow {-2}}\frac{t^2-4}{3t^2+18t+24}$.

förstår inte alls hur jag ska göra

Hitta nollställena till täljaren och nämnaren.

Hej!

När det kommer till gränsvärdesuppgifter så handlar det om att hitta ett gränsvärde när en viss oberoende variabel, säg x, går emot ett värde a, där a kan antas vilket värde som helst. Definitionen av gränsvärdet är 

$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right) =\hspace{0.17em}L$ där L kallas för gränsvärdet till funktionen f(x).

Det finns funktioner som saknar gränsvärde och för dessa så innebär det att limes antingen går mot +-oändligheten.
Låt mig demonstrera hur jag menar genom exempel för funktionen $f\left(x\right) =$$\frac{1}{x}$. Vi kan här se att funktionen ej är definierad i x = 0, då division med 0. En fråga som man kan tänka sig här är vad som händer om vi närmar oss 0 (Det är här limes kommer).
Så i limes notation så får vi

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}$

- Märk här att jag har tagit $x\to 0$ för att visa vad som händer med funktionen. x kunde lika gärna gått mot ett annat värde.

När vi säger "x närmar sig 0" så menar vi; välj ett värde på x så nära 0, ta exempelvis 0.00001. Ett annat skulle kunna vara 0.00000000001.

Säg för 
$$\begin{gathered} x =\hspace{0.17em}0.00001, f(0.00001) =\frac{1}{0.00001}=100000 \\ x =\hspace{0.17em}0.0000000001, f(0.0000000001) =\frac{1}{0.0000000001}=10000000000 \end{gathered}$$

Notera här att om variabeln x får ett värde som är "extremt" nära 0 så kommer funktionsvärdet att bli stort. Hur stort kan värdet f(x) bli? I detta fallet så kan det bli hur stort som helst. När vi inte vet hur stort f(x) kan bli så betecknar vi med $\infty$ för att indikera att gränsvärde saknas. Så att,

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=\infty$

Samma resonemang kan du visar att limes av f(x) går mot -$\infty$.

Sammanfattningsvis så handlar limes-uppgifter om att bestämma gränsvärde hos en funktion. Funktionen behöver nödvändigtvis inte vara definierad i alla punkter. I exempel ovan är funktionen definierad för alla x, förutom x = 0.

I ditt fall så kan du börjar med att titta på din funktion och se om du kan faktorisera termerna.

Täljaren går att faktoriseras med en viss regel.

Nämnaren kan du hitta nollställen.

Hej Hejsan,

Täljaren kan skrivas $(t-2)(t+2)$ och nämnaren kan skrivas $3(t+2)(t+4).$
 

Använd detta för att bestämma gränsvärdet.

tog att t fick vara 1,9999 och fick då att gränsvädert blir 0, är detta rätt?

hejsan01 skrev:

tog att t fick vara 1,9999 och fick då att gränsvädert blir 0, är detta rätt?

Nej. Albiki har hjälpt dig att faktorisera både täljaren och nämnaren. Ser du att detär en faktor som finns både i täljare och nämnare? Hur ser ditt uttryck ut när du har förkortat bort denna faktor?

hejsan01 skrev:

tog att t fick vara 1,9999 och fick då att gränsvädert blir 0, är detta rätt?

Hej!

Ditt gränsvärde 0 är rätt om vi antar att $t\to 2$, men uppgiften ger dig specifikt att $t\to -2$, så att t=1.9999 ligger långt ifrån -2 i tallinjen. Ta ett t som är närmare -2 exempelvis t = -1.9999.

Gör först som Albiki förslår, faktorisera täljaren och nämnaren. Du kommer märka att faktorn (t+2) kan strykas och erhåller likheten

 $\underset{t\to -2}{\lim }\frac{t^2-4}{3t^2+18t+24}=\underset{t\to -2}{\lim }\frac{t-2}{3(t+4)}$

Gränsvärdet när $t\to -2$ ska bli $\frac{-2}{3}$

Hoppas det hjälpte!