Matematik 1c (exponent 1c) tal 1023

Hej, har haft problem med denna uppgift

Beräkna

$(1 + \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{3}) \times (1 + \frac{1}{4}) \times . . . \times (1 + \frac{1}{99})$

Enligt boken ska beräkningen vara = 50.

Meeeen, om man räknar ut varje parentes för sig så får man löjligt små decimaler som följer med men att räkna ut det till bråk och sen multiplicera dem blir istället jättestora tal som istället känns nästintill omöjliga att förkorta ned till något hanterbart då alla måste kunna förkortas med samma siffra? tex

$(1 + \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{3}) \times (1 + \frac{1}{4}) \times (1 + \frac{1}{5}) \times (1 + \frac{1}{6}) \times (1 + \frac{1}{7}) = (\frac{3}{2}) \times (\frac{4}{3}) \times (\frac{5}{4}) \times (\frac{6}{5}) \times (\frac{7}{6}) \times (\frac{8}{7}) = (\frac{12}{6}) \times (\frac{30}{20}) \times (\frac{56}{42})$

men desto fler tal man försöker räkna ut och sedan lägga ihop och förkorta desto större tal blir det och det är svårt att hitta en mgn på 98 tal? (det funkar att bryta ut 2 åt gången men när de slutar på udda siffra blir det svårt? )

Finns det ett enklare sätt att räkna ut detta än att räkna ut alla 98 parenteserna för sig, sedan multiplicera ihop talen och förkorta dem till något hanterbart?

Tack på förhand

Ja, det finns det. Skriv talen som bråk i stället för i blandad form, så kommer du att kunna förkorta bort nästan allting.

Tack för svar! Nu förstår jag!

Smaragdalena skrev :
Ja, det finns det. Skriv talen som bråk i stället för i blandad form, så kommer du att kunna förkorta bort nästan allting.

Hej Smaragdalena, skulle jag också kunna få en förklaring för denna intressanta fråga?

Jag gjorde något komplicerat som att multiplicera alla täljare och nämnare för att sedan få $\frac{20160}{5040}$ och detta tog mig nästan 2 minuter att räkna ut med huvudräkning, men finns det något lösningsmetod som gör att man slipper multiplicera alla täljare och nämnare för att få fram svaret? Som TS skrev så är den beräkningen jag fått inte samma, jag fick svaret 4 när jag räknade ut 20160/5040.

Om du skriver om det till $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot ... \cdot \frac{99}{98} \cdot \frac{100}{99}$ så klarar du det på cirka 10 sekunder. Dessutom får du rätt svar.

Smaragdalena skrev :
Om du skriver om det till $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot ... \cdot \frac{99}{98} \cdot \frac{100}{99}$ så klarar du det på cirka 10 sekunder. Dessutom får du rätt svar.

Precis så jag gjorde, jag skrev $1 + \frac{1}{2} s o m \frac{3}{2}$ osv. Men det som gör mig förvirrad är att man ska multiplicera varje täljare och nämnare för varje bråk, för det är det slutliga resultatet man är intresserad av eller? Är det så att man kan förkorta allting innan man kommer till det slutliga resultatet utan att spendera så mycket tid på huvudräkningen?

Du kan förkorta bort allt utom den första tvåan (i nämnaren) och 100 i sista täljaren. 100/2 = 50.

Smaragdalena skrev :
Du kan förkorta bort allt utom den första tvåan (i nämnaren) och 100 i sista täljaren. 100/2 = 50.

Nu förstod jag inte vad du menar, med ''förkorta bort allt utom den första tvåan (i nämnaren) och 100 i sista täljaren. 100/2 = 50.'' Vad hänvisar du till? Kan du visa hur du skulle lösa uppgiften med avseende på min fråga? Tack

Matteboken.se förklarar om förkortning.

Smaragdalena skrev :
Matteboken.se förklarar om förkortning.

Jag förstår vad förkortning är, men jag vet inte vad du menar:

förkorta bort allt utom den första tvåan (i nämnaren) och 100 i sista täljaren. 100/2 = 50.

Kan jag inte få en lite utförlig lösning på frågan? Jag vill lära mig.

Börja med att skriva om uppgiften med alla talen i bråkform, inte blandad form. Då bör du kunna se att du kan förkorta bort täljaren i det första talet mot nämnaren i det andra, och täljaren i det andra talet mot nämnaren i det tredje, och täljaren i det tredje mot nämnaren i det fjärde och så håller du på hela vägen tills bara 2 från den första nämnaren och 100 från den sista täljaren är kvar.

Smaragdalena skrev :
Börja med att skriva om uppgiften med alla talen i bråkform, inte blandad form. Då bör du kunna se att du kan förkorta bort täljaren i det första talet mot nämnaren i det andra, och täljaren i det andra talet mot nämnaren i det tredje, och täljaren i det tredje mot nämnaren i det fjärde och så håller du på hela vägen tills bara 2 från den första nämnaren och 100 från den sista täljaren är kvar.

Nu förstod jag bättre, tack. Vad multipliceras ifrån bråktalet där nämnaren är 2, finns det något på täljaren som man kan multiplicera med då man förkortar bort det? Syftar på detta bråktal $\frac{3}{2}$ där täljaren förkortas med 3 i nästa nämnare, vad har vi kvar då i första bråktalet i täljaren? Blir det $\frac{1}{2}$ kvar som sedan ska multipliceras med $\frac{99 * 100}{99}$ ?

Mycket komplicerad fråga men lärorik :)

Ja, det blir kvar ½ från det första bråket, och så kan du förkorta bort 99 från slutet också, så blir det 100 kvar, och ½*100 = 50.

Svara

Visa senaste svar