Massflöde - Mekanik

Hej, ska lösa uppgiften nedan:

Jag börjar med att frilägga vår massa m, och enligt Newtons II:a lag fås:

$F - m g = m a$

Men då jag antar att massan m svävar i luften, är accelerationen 0 och således gäller $F = m g$ där F är kraften som uppkommer då vattenmassan ständigt "kolliderar" med m.

Vi kan lätt finna ett uttryck för F genom att utnyttja att $F = \frac{d p}{d t}$ .

Vi väljer därför att titta på ett masselement vid tiden $t$ , och därefter tiden $t + ∆ t$ .

Vid tiden t, vilket vi kan låta vara ett masselement som precis ska åka in i den tunna öppningen har en massa vi kan kalla för $∆ m_{i} = \frac{{ρπD}^{2}}{4} v_{t} ∆ t$

Där $v_{t}$ är hastigheten vid tiden t.

På samma sätt får vi att masselementet precis efter den passerat den tunna öppningen, det vill säga vid tiden $t + ∆ t$ , har massan:

$∆ m_{f} = \frac{ρπ d^{2}}{4} v_{t + ∆ t} ∆ t$

Vi kan finna hastigheten precis innan öppningen och precis efter öppningen via energiprincipen:

$1 / 2 ∆ m_{i} {v^{2}}_{t} + ∆ m_{i} g h = 1 / 2 ∆ m_{i} v^{2} \Rightarrow {v^{2}}_{t} = v^{2} - 2 g h$

$1 / 2 ∆ m_{f} {v^{2}}_{t + ∆ t} = 2 ∆ m_{f} g h \Rightarrow {v^{2}}_{t + ∆ t} = 4 g h$

Nu får jag att skillnaden i rörelsemängd ges av:

$p_{f} - p_{i} = ∆ m_{f} v_{t + ∆ t} - ∆ m_{i} v_{t} = \frac{ρπ d^{2}}{4} (4 g h) ∆ t - \frac{{ρπD}^{2}}{4} (v^{2} - 2 g h) ∆ t$

Division med $∆ t$ ger slutligen att F = $ρπ (d^{2} g h - \frac{D^{2}}{4} (v^{2} - 2 g h))$

och som vid division med g därefter ger kraften F. Men enligt facit blir det bara $F = ρ πh (D^{2} - d^{2})$ . Vart går det fel i min lösning, och varför?

Vad är det som håller plattan uppe?

Hur menar du? Jag tänker att det måste vara som en följd utav att vattnets rörelsemängd förändras som det uppstår en impuls och därur har vi en kraft som verkar under ett längre tidsförlopp. Alltså en kraft från vattnet som verkar på plattan och som då balanserar ut tyngden av massan.

Men det är inte vattnet som tar sig igenom hålet i plattan som håller plattan uppe. Det är vattnet som inte kommer igenom hålet som överför sin rörelsemängd.

Du har på något sätt fått ett korrekt värde på vattnets hastighet precis innan det slår in i plattan

$v^2=4gh$

(Men jag förstår inte inte ditt resonemang)

Under tiden $\Delta t$ överförs alltså impulsen ( $mv=F\Delta t$ )

$\displaystyle \pi\frac{(D^2-d^2)}{4}v\Delta t\rho v=F\Delta t$

Exakt. Jag ville få johannes121 att skilja på det vatten som träffar plattan och det som passerar plattan.

D4NIEL skrev:
Men det är inte vattnet som tar sig igenom hålet i plattan som håller plattan uppe. Det är vattnet som inte kommer igenom hålet som överför sin rörelsemängd.

Du har på något sätt fått ett korrekt värde på vattnets hastighet precis innan det slår in i plattan

$v^2=4gh$

(Men jag förstår inte inte ditt resonemang)

Under tiden $\Delta t$ överförs alltså impulsen ( $mv=F\Delta t$ )

$\displaystyle \pi\frac{(D^2-d^2)}{4}v\Delta t\rho v=F\Delta t$

Hur kommer det sig att hastigheten bara blir v_(innan plattan)^2 = 4gh innan det slår in plattan, bör det inte bli v_(innan plattan)^2 = v^2-2gh

Bubo skrev:
Exakt. Jag ville få johannes121 att skilja på det vatten som träffar plattan och det som passerar plattan.

Tack Bubo, har bättre koll på vad som händer nu!

johannes121 skrev:

Hur komme det sig att hastigheten bara blir v_(innan plattan)^2 = 4gh innan det slår in plattan, bör det inte bli v_(innan plattan)^2 = v^2-2g

Vi kan studera ett fluidelement med massan $m$ . Låt oss för enkelhetens skull införa en nollnivå för den potentiella energin i höjd med plattan. Vid plattan har fluidelementet hastigheten $v$ . Den totala kinetiska energin för fluidelementet vid nollnivån respektive höjden $2h$ bevaras, alltså

$\displaystyle \frac{mv^2}{2}=2mgh$

$v^2=4gh$

Är du med?

D4NIEL skrev:
johannes121 skrev:

Hur komme det sig att hastigheten bara blir v_(innan plattan)^2 = 4gh innan det slår in plattan, bör det inte bli v_(innan plattan)^2 = v^2-2g

Vi kan studera ett fluidelement med massan $m$ . Låt oss för enkelhetens skull införa en nollnivå för den potentiella energin i höjd med plattan. Vid plattan har fluidelementet hastigheten $v$ . Den totala kinetiska energin för fluidelementet vid nollnivån respektive höjden $2h$ bevaras, alltså

$\displaystyle \frac{mv^2}{2}=2mgh$

$v^2=4gh$

Är du med?

Jag hänger med på den biten. Men eftersom vi behöver hastigheten v INNAN vi slår i plattan, bör man inte räkna ut det på det sättet jag angav tidigare då. Men samtidigt tänker jag att hastigheten v INNAN och precis EFTER plattan är likadan för den massa som lyckas passera genom hålet.

johannes121 skrev:

Men samtidigt tänker jag att hastigheten v INNAN och precis EFTER plattan är likadan för den massa som lyckas passera genom hålet.

Ja, det är en bra approximation ${}^*$ , plattan är förmodligen inte särskilt tjock. Så du kan lugnt anta att hastigheten precis innan och precis efter plattan är samma.

Notera också att vi inte behöver "utgångshastigheten $v$ " som nämns i uppgiftstexten. Allt vi behöver veta är hur långt över plattan vattnet fortsätter eftersom den sträckan är ett mått på vattnets kinetiska energi när det precis passerat genom plattan.

${}^*$ Edit: faktum är att det "egentligen" inte är en särskilt bra approximation, vilket du kommer läsa mer om i framtida kurser i fluid- eller kontinuumsmekanik och strömningslära.

D4NIEL skrev:
johannes121 skrev:

Men samtidigt tänker jag att hastigheten v INNAN och precis EFTER plattan är likadan för den massa som lyckas passera genom hålet.

Ja, det är en bra approximation ${}^*$ , plattan är förmodligen inte särskilt tjock. Så du kan lugnt anta att hastigheten precis innan och precis efter plattan är samma.

Notera också att vi inte behöver "utgångshastigheten $v$ " som nämns i uppgiftstexten. Allt vi behöver veta är hur långt över plattan vattnet fortsätter eftersom den sträckan är ett mått på vattnets kinetiska energi när det precis passerat genom plattan.

${}^*$ Edit: faktum är att det "egentligen" inte är en särskilt bra approximation, vilket du kommer läsa mer om i framtida kurser i fluid- eller kontinuumsmekanik och strömningslära.

Då förstår jag. Tack så jättemycket för hjälpen!!

Svara

Visa senaste svar