Masscentrum cirkelsektor

Du kanske kan göra det i ett svep med polära koordinater men vet inte spontant hur det blir!

Jag tycker ditt resonemang för kondelen ser bra ut. Men vi kan ju tänka analogt för den sfäriska delen. Vi vill ha arean för varje $x$. Hur blir  $A(x)$? Om det känns svårt att komma på, hur ser $A(x)$ ut om öppningsvinkeln är $\pi$?

Är masscentrum samma för cirkelsektorn som sfäriska sektorn (namnet på formen som bildas)?

TobbeR skrev:

Du kanske kan göra det i ett svep med polära koordinater men vet inte spontant hur det blir!

---

Jag tycker ditt resonemang för kondelen ser bra ut. Men vi kan ju tänka analogt för den sfäriska delen. Vi vill ha arean för varje $x$. Hur blir  $A(x)$? Om det känns svårt att komma på, hur ser $A(x)$ ut om öppningsvinkeln är $\pi$?

Asså jag tänkte y=Sinx, då pi/2<=x<=0, men fick inte riktigt till de.

Ebola skrev:

Är masscentrum samma för cirkelsektorn som sfäriska sektorn (namnet på formen som bildas)?

Det borde det vara

Louiger skrev:

TobbeR skrev:

Du kanske kan göra det i ett svep med polära koordinater men vet inte spontant hur det blir!

---

Jag tycker ditt resonemang för kondelen ser bra ut. Men vi kan ju tänka analogt för den sfäriska delen. Vi vill ha arean för varje $x$. Hur blir  $A(x)$? Om det känns svårt att komma på, hur ser $A(x)$ ut om öppningsvinkeln är $\pi$?

Asså jag tänkte y=Sinx, då pi/2<=x<=0, men fick inte riktigt till de.

Nej det blir lite fel. Du tänker cirklar, antar att det är därför du blandar in $\sin$, vilket är rätt. Vi kan istället använda cirklens ekvation. Vi har ju att

$x^2+y^2=1$

Vilket vi kan skriva om till

$y=\sqrt{1-x^2}$

Vilket just beskriver radien vid ett givet $x$. Ser du hur du kan använda detta för att få fram $A(x)$?

Om vi plottar $y=\sin(x)$ kan vi ju se att det inte ser ut som en cirkel. Cirkeln kommer ju om vi har

$x=\cos(t), y=\sin(t)$

Du har integrationsformeln för masscentrum som:

$\overline{x}=\frac{1}{A}\iint xdA$

Det handlar alltså bara om att bestämma areaelementet. Studera nedan figur:

Vi har ett areaelement som ligger vid koordinaten $(x, y)=\left(r\cos \right(\theta ), r\sin (\theta \left)\right)$ och har dimensioner enligt figuren. Vi får därför:

$\overline{x}=\frac{4}{\pi R^2}{\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^R{r}^2\cos \left(\theta \right)drd\theta =\frac{4}{\pi R^2}{\left[\sin \left(\theta \right)\right]}_0^{\pi /2}{\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^R=\frac{4R}{3\pi }$

Varför anser ni att vi skulle få samma masscentrum för rotationskroppen som för den 2-dimensionella figuren? Masscentrum för en kon och triangel är ju inte samma t.ex.

Däremot kan vi ju göra beräkningar analogt med Ebolas fast med sfäriska koordinater. Lite mer komplicerat men det borde fungera.

TobbeR skrev:

Varför anser ni att vi skulle få samma masscentrum för rotationskroppen som för den 2-dimensionella figuren? Masscentrum för en kon och triangel är ju inte samma t.ex.

Däremot kan vi ju göra beräkningar analogt med Ebolas fast med sfäriska koordinater. Lite mer komplicerat men det borde fungera.

Jaha, nej, det anser jag inte, jag tänkte att Louiger hade tillgång till facit och kunde se att det inte stämmer. Hursomhelst, integrationsformeln för ett tredimensionellt objekt är:

$\overline{x}=\frac{1}{V}\iiint xdV$

Vi beskriver ett volymselement i sfäriska koordinater enligt figuren nedan:

Detta ger positionen för elementet som $(x, y, z) =\hspace{0.17em}(r\sin \theta \cos \varphi , r\sin \theta \sin \varphi , r\cos \theta )$ och enligt figur blir volymselementet:

$dV=r^2\sin \theta d\theta d\varphi dr$

Vi ser dock tydligt att det inte är lämpligt att använda koordinaten $x$ för att beskriva avståndet till masscentrum. Det är bättre att använda koordinaten $z$, se bild nedan:

Vi börjar med att bestämma volymen av vår sfäriska sektor:

$V=\iiint dV={\int }_0^{2\pi }d\varphi {\int }_0^{\pi /4}\sin \theta d\theta {\int }_0^R{r}^{2}dr=\frac{(2-\sqrt{2})}{3}\pi R^3$

Vi får följande integral när vi ska bestämma masscentrum:

$\overline{z}=\frac{1}{V}{\int }_0^{2\pi }d\varphi {\int }_0^{\pi /4}\sin \theta \cos \theta d\theta {\int }_0^R{r}^{3}dr=\frac{3}{(2-\sqrt{2})\pi R^3}\left(2\pi ·\frac{1}{4}·\frac{R^4}{4}\right)$

Således får vi avståndet till masscentrum som:

$\overline{z}=\frac{3}{8(2-\sqrt{2})}R$

TobbeR skrev:

Varför anser ni att vi skulle få samma masscentrum för rotationskroppen som för den 2-dimensionella figuren? Masscentrum för en kon och triangel är ju inte samma t.ex.

Däremot kan vi ju göra beräkningar analogt med Ebolas fast med sfäriska koordinater. Lite mer komplicerat men det borde fungera.

Det var jag som tänkte fel 🙄

Ebola skrev:

TobbeR skrev:

Varför anser ni att vi skulle få samma masscentrum för rotationskroppen som för den 2-dimensionella figuren? Masscentrum för en kon och triangel är ju inte samma t.ex.

Däremot kan vi ju göra beräkningar analogt med Ebolas fast med sfäriska koordinater. Lite mer komplicerat men det borde fungera.

Jaha, nej, det anser jag inte, jag tänkte att Louiger hade tillgång till facit och kunde se att det inte stämmer. Hursomhelst, integrationsformeln för ett tredimensionellt objekt är:

$\overline{x}=\frac{1}{V}\iiint xdV$

Vi beskriver ett volymselement i sfäriska koordinater enligt figuren nedan:

Detta ger positionen för elementet som $(x, y, z) =\hspace{0.17em}(r\sin \theta \cos \varphi , r\sin \theta \sin \varphi , r\cos \theta )$ och enligt figur blir volymselementet:

$dV=r^2\sin \theta d\theta d\varphi dr$

Vi ser dock tydligt att det inte är lämpligt att använda koordinaten $x$ för att beskriva avståndet till masscentrum. Det är bättre att använda koordinaten $z$, se bild nedan:

Vi börjar med att bestämma volymen av vår sfäriska sektor:

$V=\iiint dV={\int }_0^{2\pi }d\varphi {\int }_0^{\pi /4}\sin \theta d\theta {\int }_0^R{r}^{2}dr=\frac{(2-\sqrt{2})}{3}\pi R^3$

Vi får följande integral när vi ska bestämma masscentrum:

$\overline{z}=\frac{1}{V}{\int }_0^{2\pi }d\varphi {\int }_0^{\pi /4}\sin \theta \cos \theta d\theta {\int }_0^R{r}^{3}dr=\frac{3}{(2-\sqrt{2})\pi R^3}\left(2\pi ·\frac{1}{4}·\frac{R^4}{4}\right)$

Således får vi avståndet till masscentrum som:

$\overline{z}=\frac{3}{8(2-\sqrt{2})}R$

Tack för ditt engagemang och fina illustrationer 🙏! Jag blir dock lite förvirrad då kursen är i endimensionell analys och tänker att den borde väl gå att lösa som ett endimensionellt problem (eller det kanske är det du gjort, bara att jag inte helt fattar 🙄) . Det jag har kunnat läsa mig till är användning av skivmetoden och rörmetoden, men jag fattar inte hur jag ska kunna applicera de metoderna på detta problemet 🙈. Ditt svar svar är helt riktigt, men det blir svårt för mig som ett flerdim problem då jag inte börjat den kursen än. 

Jaha, nej, då får du ursäkta. Du kan föreställa dig att vi kan minimera det till en integral om vi dividerar den ena integralen med den andra. 

Det man brukar göra i envariabelanalys påminner mycket om det jag gjort. Man försöker bara, som Tobbe gav förslag om, hitta en A(x) och integrera (1/V)xA(x)dx.

Ganska elak uppgift, måste jag säga. Jag kan återkomma senare om hur jag hade löst den i envariabelanalys.

Edit: Läs Tobbes inlägg, han har gett dig ett riktigt bra tips. Varje tvärsnitt är en cirkel, du ska lista ut hur radien på denna cirkel varierar med x. I konen är det enkelt, frågan är bara i "hatten". Du kommer få två olika integraler för A1(x) och A2(x).

Ebola skrev:

Jaha, nej, då får du ursäkta. Du kan föreställa dig att vi kan minimera det till en integral om vi dividerar den ena integralen med den andra. 

Det man brukar göra i envariabelanalys påminner mycket om det jag gjort. Man försöker bara, som Tobbe gav förslag om, hitta en A(x) och integrera (1/V)xA(x)dx.

Ganska elak uppgift, måste jag säga. Jag kan återkomma senare om hur jag hade löst den i envariabelanalys.

Edit: Läs Tobbes inlägg, han har gett dig ett riktigt bra tips. Varje tvärsnitt är en cirkel, du ska lista ut hur radien på denna cirkel varierar med x. I konen är det enkelt, frågan är bara i "hatten". Du kommer få två olika integraler för A1(x) och A2(x).

Typ såhär?

Jag har inte kontrollerat din uträkning men vi kan ändå fortsätta diskutera.

Teoretiskt sett skulle du kunna nu när du har masscentrum för de enskilda sektorerna, beräkna momentet kring det okända masscentrum. Sätta detta lika med noll och således bestämma koordinaten för masscentrum hos hela objektet.

Masscentrum borde ligga någonstans mellan det för hatten och det för konen, inte sant? Du har bestämt massan för dem så testa, se vad du får fram.

Jag såg snabbt att på masscentrum för konen har du skrivit fel precis på slutet. Det står roten ur 4 men ska vara roten ur 2 i nämnaren.

Ebola skrev:

Jag har inte kontrollerat din uträkning men vi kan ändå fortsätta diskutera.

Teoretiskt sett skulle du kunna nu när du har masscentrum för de enskilda sektorerna, beräkna momentet kring det okända masscentrum. Sätta detta lika med noll och således bestämma koordinaten för masscentrum hos hela objektet.

Masscentrum borde ligga någonstans mellan det för hatten och det för konen, inte sant? Du har bestämt massan för dem så testa, se vad du får fram.

Jo det funkade! Tillsist 😀 tack!