Masscentrum av en cirkelsektor

Hejsan! Jag har totalt fastnat på denna uppgift.

"Beräkna masscentrums koordinat $y_G=0$ av en cirkelsektor med radie $r$ och vinkeln $2\alpha$ ". Jag försökte först och främst lösa det med Pappus volymregel, men som jag har uppfattat den gäller att den är baserad på rotationsvolym kring $x$ -axeln. Jag får rotationsvolymen till ett klot med två utskurna koner, där jag har svårt att bestämma vad de olika måtten i konen skulle motsvara i termer av våra givna variabler.

Därför försökte jag med integration. I princip alla videos jag hittat, inklusive härledningen i min bok, använder att $y_g=\frac{2}{3}rcos{d\alpha}$ . $\frac 2 3$ vet jag inte vart det kommer någonstans ifrån... Är det baserat på att man måste göra härleda masscentrum av en triangel först?

Jag kom alltså så långt som:

Antag konstant densitet: $dm =\rho dA\implies$ vi får integralen $y_G = \frac{\int y dA}{A}$ . Dela in cirkelbågen i små trianglar med arean $dA$ och vinkeln $d\theta$ . Arean av dessa segment ges av $dA=\frac{r^2d\theta}{2}$ . Sen har jag som sagt problem med att bestämma uttrycket för $y$ i integralen.

(Jag föredrar Pappus regel om det finns något vettigt sätt att tänka där)

De ser dm:et som en liten triangel (en mycket smal tårtbit) med bas r $d φ$ . Obs du kan inte använda alfa här, eftersom det är en konstant i detta problem. Masscentrum hos en triangel ligger på 1/3 av höjden från basen sett. Höjden är r, och från spetsen till masscentrum är avståndet därför 2r/3. Eftersom triangeln lutar med vinkel $φ$ så blir y_g = (2r/3)cos $φ$ .

PATENTERAMERA skrev:
De ser dm:et som en liten triangel (en mycket smal tårtbit) med bas r $d φ$ . Obs du kan inte använda alfa här, eftersom det är en konstant i detta problem. Masscentrum hos en triangel ligger på 1/3 av höjden från basen sett. Höjden är r, och från spetsen till masscentrum är avståndet därför 2r/3. Eftersom triangeln lutar med vinkel $φ$ så blir y_g = (2r/3)cos $φ$ .

Okej, så det bästa sättet vore helt enkelt att först härleda masscentrum för en triangel och efter det fortsätta med denna uppgift?

Ja, det är ett sätt. Men det brukar anses känt var masscentrum ligger på triangel. Annars kan man låta dm:en vara cirkelbågar, och först räkna ut var masscentrum för en cirkelbåge ligger.

Okej, då hänger jag med. Då får jag helt enkelt memorera "grundmasscentrumen", alternativt ta fram de med Pappus regel (för de är åtminstonde lätta att ta fram med regeln). Tack!

Svara

Visa senaste svar