Masscentrum

Eftersom konen är symmetrisk i y och z-led ligger masscentrum längs x-axeln.

Betrakta konen som ett antal parallella skivor med massan:

dm-skiva= densitet*volym= densitet * pi* r^2 

integrera över skivorna.

r linjär funktion med värde 0 för x= 0 och 0.5 för x=1

masscentrum är x-värdet där halva massan ligger under x och halva över,.

Vad menas med att konen är symmetrisk i y och z-led? Hur ser det ut?

Här ser du konen i rött i xy-planet. Det gröna partiet är skivan i formeln ovan.

Ok, då förstår jag. Men skulle du komma förklara symmetrin? Vilken y- och z-koordinat har masscentrum?

y=0, z=0 eftersom konen är symmetrisk runt x-axeln.

Om ni har gått igenom cylindriska koordinater kan du införa ett koordinatsystem enligt

$y=r\cos(\theta),\quad z=r\sin(\theta),\quad x=x,\quad dV=r\,drd\theta dx$

Densiteten beror endast av "djupet" i cylindern, $\rho=(10-x^2)\mathrm{kg/m^3}$ och den maximala radien beror på djupet enligt $r(x)=\frac12x$, alltså blir konens totala massa.

$\displaystyle M=\int_V \rho\,dV=\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{x=0}^2 \int_{r=0}^{\frac12x} \, (10-x^2) r\,drd\theta dz=\frac{76\pi}{15}\mathrm{kg}$

När man betraktar konen inser man förhoppningsvis att det vore konstigt om konens tyngdpunkt låg någon annanstans än på x-axeln. Massfördelningen $\rho$ beror ju bara på djupet.

Tyngdpunkten i x-led ges av

$\displaystyle x_m=\frac{1}{M}\int_V x\,dm=\int_V\, x \rho dV=\frac{1}{M}\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{x=0}^2 \int_{r=0}^{\frac12x} \, (10-x^2) xr\,drd\theta dz=\frac{55}{38}\mathrm{m}$