masscentrum

Hej

jag behöver hjälp med att räkna fram masscentrum.

En rak cirkulär kon med höjden 2 meter och radien 1 meter har spetsen nedåt och är fylld med en vätska. I ett plant snitt parallellt med konens bottenyta och på avståndet x meter från konens spets är vätskans densitet (10- $x^{2}$ ) $k g / m^{3}$ . Bestäm vätskans masscentrum.

Man ska väl använda M= $(10 - x^{2}) \times A$

Arean får man av $π r \times \sqrt{h^{2} + r^{2}} = π \sqrt{5}$

Ska man då integrera $π \int_{0}^{2} (10 - x^{2}) \sqrt{5} d x$

jag provade men fick fel svar så det måste vara något fel med formeln jag använder.

Arean för ett plant snitt måste ju bero på var i konen (på vilken höjd) du befinner dig.

men jag förstår inte riktigt hur man ska få fram rätt term bakom densiteten för att integrera med.

Svaret ska bli 55/38 enheter

Du har väl ritat figur?

Dela in i cylindrar med

dm = rho(x)*pi*r(x)^2*dx

Vad är det sedan du ska integrera för att få masscentrum?

Dr. G skrev :
Du har väl ritat figur?
Dela in i cylindrar med
dm = rho(x)*pi*r(x)^2*dx
Vad är det sedan du ska integrera för att få masscentrum?

För att få masscentrum ska man väl integrera $\int ρ (x) d v$ där dv=A(x)dx och A(x) är snittarean vid x.

så vi har alltså dm= $(10 - x^{2}) π d x$

Så jag trodde att man skulle inegrera densitetet (10-x^2)

ja jag ritade en figur men det hjälpte inte så mycket för att få fram vad jag ska integrera.

Nej, den integralen ger dig massan!

Masscentrum (i x-led) är

integral(x*dm) = integral(rho*x*dv) = ...

EDIT: och division med total massa föll visst bort.

Masscentrum i x = integral(x*dm)/integral(dm), etc.

Jursla skrev :
För att få masscentrum ska man väl integrera $\int ρ (x) d v$ där dv=A(x)dx och A(x) är snittarean vid x.

Nja, $x_p=\frac{1}{M}\int x\cdot \rho(x)\mathrm{d}V$ .

M är konens totala massa. (Den ges också av en integral)

så vi har alltså dm= $(10 - x^{2}) π d x$
Så jag trodde att man skulle inegrera densitetet (10-x^2)

Nej, $dm=\rho(x)\mathrm{d}V=\rho(x)\cdot A(x) \mathrm{d}x$ tomast80 har fuskhjälpt dig med A(x)

Har du hjälp av tomast80:s skiss för att förstå vad du skall integrera? Jag har det i alla fall. En skiva på avståndet x har radien r = x/2, arean... och volymen Adv. Skivan har massan V*densiteten. Integrerar jag detta från 0 till 2 får jag massan för hela konen. Om jag integrerar från 0 tilll a får jag massan m/2. Då ligger tyngdpunkten på höjden a.

Smaragdalena skrev :
Integrerar jag detta från 0 till 2 får jag massan för hela konen. Om jag integrerar från 0 tilll a får jag massan m/2. Då ligger tyngdpunkten på höjden a.

Nja, du räknar då ut en median och här söks ett medelvärde.

jag förstår tyvärr fortfarande inte. Jag integrerade och fick massan 52/3

Ska man inte då ta $\frac{1}{M}$ och i så fall få $\frac{3}{52}$ och sedan integrera densiteten?

och om vi då har A(x)= $\frac{π x^{2}}{4}$ ska vi då få $\frac{1}{M} \int_{0}^{2} (10 - x^{2}) d V$

För masscentrum beräknar du två integraler:

integral(x*dm)

och

integral(dm)

och tar sedan kvoten av dem. Kvoten är masscentrum i x-led.

Den andra integralen har du nog räknat ut, men inte den första. Den första integranden är som den andra multiplicerad med x.

Svara

Visa senaste svar