massan av en silo

Hej

jag har en uppgift där jag ska beräkna massan i en full silo och skulle behöva lite hjälp.

Vid lastning av en 20 meter hög cylindrisk silo med radien 4m räknar man med att materialet packas i silon på följande sätt: Om silon är fylld till höjden H m, så ges densiteten på höjden h m över botten av:

$\ln (5 + H - h) k g / m g^{3}, 0 \leq h \leq H$

Beräkna massan i en full silo.

För att beräkna massan ska man väl använda att $m = ρ \times V$

och volymen är väl $V = π r^{2} h$

I detta fall får vi väl då V= $π 16 \times 20 = 320 π$

Sedan har jag kört fast, svaret ska bli $16 π (45 \ln 5 - 20) k g$

Du får räkna ut massan av en "tunn" cylinder med höjd dh.

Är du med på att den massan är

dm = rho(h)*dV = rho(h)*pi*R^2*dh

Integrera sedan.

ska man alltså sätta $16 π \int_{0}^{20} \ln (5 + H - h) d h$

men jag förstår inte hur man ska göra när vi har H och h inom parentesen

När silon är full är H = 20.

vi har då ln(5+20-h) men vad är då h

h är integrationsvariabeln - det står ju dh på slutet! Funktionen som skall integreras är alltså ln(25-h).

okej så vi har alltså integralen:

$16 π \int_{0}^{20} \ln (25 - h) d h$

men jag får inte $45 \ln 5 - 20$

Ett trick när man vill integrera ln(f(x)) är att låtsas att det står en 1:a framför ln-funktionen integrera partiellt. Då ska man hitta på en primitiv funktion till 1. Ett smart val av primitiv funktion är -(25-h). Man får (kontrollräkna!)

$16\pi \int_0^{20}1\cdot \ln(25-h)\mathrm{d}h=16\pi\left[-(25-h)\ln(25-h)\right]_0^{20}-16\pi\int_0^{20}\mathrm{d}h=$

Svara

Visa senaste svar