massa

Du verkar räkna på en cylinder och inte på en kon.

Hur stor är tvärsnittsarean vid höjden x?

arean får vi väl av $\pi \times r^2$ men jag är inte säker på hur vi ska integrera

Du måste ta reda på hur radien r beror av x.

När x = 0 är r = 0.

När x = 2 m är r =1 m.

Har du ritat figur?

ja jag ritade men blev inte mycket klokare av det tyvärr. Jag förstår inte riktigt hur man ska integrera förutom att vi har funktionen för densiteten som vi ska integrera och höjden 2m men jag får inte fram rätt svar.

Samma uppgift diskuteras här https://www.pluggakuten.se/trad/berakna-totala-massan/

Kolla om det hjälper, återkom sen om du har frågor. Kolla gärna på Albikis förklaring, tycker att den var bra.

Hej!

Vätskekonen är uppbyggd av flera tunna cylinderformade vätskeskivor vars tjocklek är $\text{d}x$ meter och vars diameter $D(x)$ meter beror på höjden ($x$) som skivan är belägen på. En sådan skiva väger

    $(10-x^2) \cdot \frac{\pi (D(x))^2}{4} \text{d}x$ kilogram.

Diametern bestäms genom att notera två likformiga trianglar: En triangel med basen $D(x)$ och höjden $x$ samt en triangel med basen $2$ och höjden $2\ .$ Eftersom de är likformiga gäller det att $\frac{D(x)}{x} = \frac{2}{2}$ det vill säga $D(x) = x\ .$

Vätskekonens massa är summan (integralen) av alla sådana tunna vätskeskivor.

    $\int_{x=0}^{2}(10-x^2) \cdot \frac{\pi x^2}{4} \text{d}x = \frac{\pi}{4}\cdot \int_{x=0}^{2}10x^{2}-x^4\text{d}x\ .$

Albiki

Radien vid höjden $x$ meter kan beskrivas med funktionen $r(x) = kx$. Det gäller ju att $r(2) = 2k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{2}$. Så $r(x) = \frac{1}{2} x$. 

Du ska beräkna vätskans massa $M$, och

$M = \int dM$ där $dM = \rho dV$.

Med skivformeln fås att $dV = \pi r(x)^2 dx = \pi \frac{1}{4} x^2 dx$

Så,

$M = \int_0^2 (10-x^2) \cdot \frac{\pi}{4} x^2 dx$