Markovkedja diskret tid

Hej,

I en markovkedja i diskret tid vill jag beräkna det förväntade antalet besök i tillstånd 2 mellan två besök i tillstånd 3, och enligt facit beräknas detta enligt $\frac{1}{\pi_3}\pi_2$ . Där $\pi=(\pi_1,\pi_2,\pi_3)$ är lösningarna på den stationära fördelningen $\pi P=\pi$ som även är gränsfördelningen ty kedjan är ergodisk. Men jag undrar nu varför formeln blir just precis $\frac{1}{\pi_3}\pi_2$ ?

Den fullständiga frågan är följande:

Det är väl bara andelen lastbilar jämfört med bussar som beräknas. Om vi sätter lite lätta siffror på problemet så säg att 50% av fordonen är lastbilar och 25% bussar. Vi väntar oss 50%/25%=2 lastbilar mellan varje buss. Känns det rimligt?

Svara