Markera tal i det komplexa talplanet

Du kan tolka absolutbeloppet geometriskt.

För reella tal gäller då att |x-2| är avståndet mellan talet x och talet 2. Om du på en tallinje markerar talet 2 och ett annat tal x så är |x-2| lika med avståndet mellan talet x och talet 2.

Ekvationen |x-2| = 3 har då lösningarna x = -1 och x = 5 eftersom dessa är de enda två tal som ligger på avståndet 3 ifrån talet 2.

==========

Samma tankesätt kan tillämpas på komplexa tal.

Här betyder på samma sätt |z-2| avståndet mellan talet z och talet 2. Om du i ett komplext talplan markerar talet 2 och ett annat tal z så är |z-2| lika med avståndet mellan talet z och talet 2.

Ekvationen |z-2| = 3 har då lösningarna "alla tal z som ligger på avståndet 3 från talet 2". Dessa tal ligger på en cirkel med radie 3 runt talet 2, eftersom dessa är de enda talen som ligger på avståndet 3 ifrån talet 2.

Aha! Vilken bra förklaring. Nu föll poletten ned. Trots att jag var det på spåren i två läroböcker, så förstod jag inte deras korta förklaring. För mig var z en vektor i det komplexa talplanet, men innanför absolutbeloppet blir det då endast ett tal, men borde det då inte egentligen stå $\left|\left|z\right|-i\right|$?

Nu tog jag mig tid och skrev ned allt du förklarade på ett papper och tillämpade det på "min" ekvation $\left|z-i\right|=3/2$
Jag citerar dig, men byter ut ekvationen:
"Ekvationen $\left|z-i\right|$har då lösningarna "alla tal $\left|z-i\right|$som ligger på avståndet 3/2 från talet 1i". Dessa tal ligger på en cirkel med radie 3/2 runt talet 1i, eftersom dessa är de enda talen som ligger på avståndet 3/2 ifrån talet 1i.

Som sagt en jättebra förklaring från dig och som i mitt fall visade sig att jag behövde skriva av det ordagrant för att riktigt kunna ta till mig det. En reflektion jag gjort tidigare är att det är mycket viktigt att i detalj förstå vad våra frågeställare frågar och vad våra svarare svarar. Det hjälper mig oerhört mycket på vägen.

Så tack för hjälpen! Tyvärr kan jag inte lova att att hålla det jag skrev ovan. Impulsen och känslan tar lätt över 😉.

ConnyN skrev:

Aha! Vilken bra förklaring. Nu föll poletten ned. Trots att jag var det på spåren i två läroböcker, så förstod jag inte deras korta förklaring. För mig var z en vektor i det komplexa talplanet, men innanför absolutbeloppet blir det då endast ett tal, men borde det då inte egentligen stå $\left|\left|z\right|-i\right|$?

Tack för positiv återkoppling!

Det gäller att $z$ är en punkt i det komplexa talplanet. Denna punkt kan, som du säger, representeras av en vektor som utgår från origo.

Men det stämmer inte riktigt att $z$ innanför absolutbelopptecken endast blir ett (reellt) tal.

Om vi skriver $|z-2|$ så betecknar $z$ fortfarande ett komplext tal. Om vi sätter $z = x+yi$ så får vi t.fex. att $|z-2| = |x+yi-2|$, vilket är lika med $|(x-2)+yi|$. Vi har alltså fortfarande ett komplext tal innanför absolutbelopptecknen.

Pythagoras sats ger oss nu att $|z-2|=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$

Om vi t.ex. vill lösa ekvationen $|z-2|=3$ så får vi alltså $\sqrt{(x-2)^2+y^2}=3$.

Om vi nu kvadrerar bägge sidor så får vi $(x-2)^2+y^2=3^2$.

Du kanske känner igen att detta är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (2, 0) och radie 3?

Denna algebraiska lösning stämmer alltså överens med vår geometriska tolkning av absolutbelopp.

===========

Och nej, $|z-i|$ är inte samma sak som $||z|-i|$

Om vi t.ex har att $z=1+2i$ så är ju $|z-i|=|1+2i-i|=|1+i|=\sqrt{2}$

Men $||z|-i|$ blir då $||1+2i|-i|=|\sqrt{5}-i|=\sqrt{6}$

-----------------

Du har förstått det rätt, men du råkade skriva "alla tal |z-i|" istället för "alla tal z".

Oj nu fick jag mycket information. Jag har skrivit ut det på ett papper och ser på innehållet att där finns "guld" för mig.
Även din sista kommentar får jag ta till mig.

Det är min födelsedag idag och bättre present än den jag fått av dig kan jag nog inte tänka mig!
Så tack så mycket!

Det är spännande detta med komplexa tal. När jag en gång gick i gymnasiet så kan jag nog påstå att trots hyfsat bra betyg så förstod jag väldigt lite av komplexa tal. Trots att vi på elkraft använde $j\omega$-metoden som gick utmärkt att använda vid jordfelsberäkningar bland annat.

Tack igen ch grattis på födelsedagen Conny!

Komplexa tal är just lite så. Komplexa alltså 😉

Men att se dem som punkter eller vektorer i ett tvådimensinellt talplan underlättar ofta.

Nu äntligen tror jag att polletten ramlat ned tack vare dina förklaringar Yngve. 
En sista avstämning. Med dina kommentarer och förslag har jag gjort en sammanfattning som slutade så här:

Edit: Ojdå inte 9². Det ska givetvis stå 9 där före mitt "Stämmer"

Snygg bild!

Men varför börjar du räkna på cos(v) = 2/3?

Yngve skrev:

Snygg bild!

Men varför börjar du räkna på cos(v) = 2/3?

Jo jag ville få ihop hela bilden. Ett slags test för att fördjupa kunskapen. Som du så riktigt påpekade så är det ju inte $\left|z-i\right|$som ligger på avståndet 3/2 i exemplet jag jobbade med utan alla tal z.
Figuren och beräkningen av punkten (4; 2,24) hjälpte mig att förstå att vi har en ekvation $z=x-2+y·i$.
Alltså en hjälp för mig att förstå sambandet mellan $\left|z-2\right|$och z. Vilket din beskrivning givetvis var en nödvändig bakgrund för mig att kunna göra.

OK då förstår jag.

Det stämmer att $4+i\sqrt{5}$ är ett av de oändligt många komplexa tal $z$ som uppfyller ekvationen $|z-2|=3$.

Och det stämmer att detta komplexa tal har de ungefärliga koordinaterna (4 : 2,24) i det komplexa talplanet.

Yngve skrev:

OK då förstår jag.

Det stämmer att $4+i\sqrt{5}$ är ett av de oändligt många komplexa tal $z$ som uppfyller ekvationen $|z-2|=3$.

Och det stämmer att detta komplexa tal har de ungefärliga koordinaterna (4 : 2,24) i det komplexa talplanet.

Tack så mycket för all hjälp och input.