Markera punkten z i ett komplext talplan. (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

Det är inte bara en punkt, utan alla punkter som ligger lika långt ifrån 2 och -4i i det komplexa talplanet.

Prova att kvadrera ekvationen och sätt z = x + i*y.

Dr. G skrev :
Det är inte bara en punkt, utan alla punkter som ligger lika långt ifrån 2 och -4i i det komplexa talplanet.
Prova att kvadrera ekvationen och sätt z = x + i*y.

Alltså på raden för -1?

trulek skrev :
Dr. G skrev :
Det är inte bara en punkt, utan alla punkter som ligger lika långt ifrån 2 och -4i i det komplexa talplanet.
Prova att kvadrera ekvationen och sätt z = x + i*y.
Alltså på raden för -1?

Oavsett hur du löser problemet är det bra om du dessutom skapar dig en djupare förståelse för det hela genom att visualisera lösningen.

Markera då de två punkterna 2 och -4i i det komplexa talplanet. Försök att hitta alla punkter som ligger lika långt från de båda punkterna.

Dessa punkter kan beskrivas med ett enkelt samband.

Yngve skrev :
trulek skrev :
Dr. G skrev :
Det är inte bara en punkt, utan alla punkter som ligger lika långt ifrån 2 och -4i i det komplexa talplanet.
Prova att kvadrera ekvationen och sätt z = x + i*y.
Alltså på raden för -1?
Oavsett hur du löser problemet är det bra om du dessutom skapar dig en djupare förståelse för det hela genom att visualisera lösningen.
Markera då de två punkterna 2 och -4i i det komplexa talplanet. Försök att hitta alla punkter som ligger lika långt från de båda punkterna.
Dessa punkter kan beskrivas med ett enkelt samband.

Jag har skrivit ner det komplexa talplanet och markerat 2 och -4i.

Jag hittade punkterna 2-3i och 1-2i som ligger båda har lika många rutor ifrån punkterna.

Men hur går jag vidare? Jag ska markera z i talplanet.

Sätt $z = a + b i$ , och skriv om ekvationen du utgår från. Om du förenklar båda sidor så långt du kan får du fram ett samband som visar dig hur alla möjliga värden på z ser ut.

trulek skrev :

Jag har skrivit ner det komplexa talplanet och markerat 2 och -4i.

Jag hittade punkterna 2-3i och 1-2i som ligger båda har lika många rutor ifrån punkterna.
Men hur går jag vidare? Jag ska markera z i talplanet.

Det stämmer att punkten $1-2i$ ligger lika långt från $2$ som från $-4i$ .

Men punkten $2-3i$ ligger inte lika långt från de båda punkterna, den ligger närmare $-4i$ än $2$ .

----------------

Om du inte med hjälp av din figur kan se vilka punkter som uppfyller sambandet att ligga lika långt från de båda punkterna -4i och 2 så rekommenderar jag dig att istället först lösa problemet algebraiskt och sedan tolka lösningen grafiskt.

----------------

Översiktligt förslag på algebraisk lösning:

$|z-2|=|z+4i|$

Sätt $z=a+bi$ . Då blir ekvationen

$|a+bi-2|=|a+bi+4i|$

Samla ihop realdelarna och imaginärdelarna för sig:

$|(a-2)+bi|=|a+(b+4)i|$

Eftersom $|x+yi|=\sqrt{x^2+y^2}$ så får vi att

$\sqrt{(a-2)^2+b^2}=\sqrt{a^2+(b+4)^2}$

Kvadrera bägge led, förenkla och lös ut $a$ (eller $b$ ).

Sätt in detta i uttrycket för $z=a+bi$ .

Yngve skrev :
trulek skrev :
Jag har skrivit ner det komplexa talplanet och markerat 2 och -4i.
Jag hittade punkterna 2-3i och 1-2i som ligger båda har lika många rutor ifrån punkterna.
Men hur går jag vidare? Jag ska markera z i talplanet.
Det stämmer att punkten $1-2i$ ligger lika långt från $2$ som från $-4i$ .
Men punkten $2-3i$ ligger inte lika långt från de båda punkterna, den ligger närmare $-4i$ än $2$ .
----------------
Om du inte med hjälp av din figur kan se vilka punkter som uppfyller sambandet att ligga lika långt från de båda punkterna -4i och 2 så rekommenderar jag dig att istället först lösa problemet algebraiskt och sedan tolka lösningen grafiskt.
----------------
Översiktligt förslag på algebraisk lösning:
$|z-2|=|z+4i|$
Sätt $z=a+bi$ . Då blir ekvationen
$|a+bi-2|=|a+bi+4i|$
Samla ihop realdelarna och imaginärdelarna för sig:
$|(a-2)+bi|=|a+(b+4)i|$
Eftersom $|x+yi|=\sqrt{x^2+y^2}$ så får vi att
$\sqrt{(a-2)^2+b^2}=\sqrt{a^2+(b+4)^2}$
Kvadrera bägge led, förenkla och lös ut $a$ (eller $b$ ).
Sätt in detta i uttrycket för $z=a+bi$ .

Okej tack. Jag provar det nu.

Men 1-2i är z i talplanet?

Jag har löst ut a $\to$ a=-2b-3. Nu sätter jag in det i z=a+bi?

1-2i är en av många punkter i det komplexa talplanet som har samma avstånd till de båda aktuella punkterna.

Smaragdalena skrev :
1-2i är en av många punkter i det komplexa talplanet som har samma avstånd till de båda aktuella punkterna.

Ok, men då ska jag leta upp alla och 1-2i är en av dessa som ska markeras i talplanet?

Det finns oändligt många punkter. Du vet ju att $a = - 2 b - 3$ , och då kan du ju välja vilket värde som helst på b och få ett värde på a. Du vet väl hur grafen av ett sådant samband ser ut?

AlvinB skrev :
Det finns oändligt många punkter. Du vet ju att $a = - 2 b - 3$ , och då kan du ju välja vilket värde som helst på b och få ett värde på a. Du vet väl hur grafen av ett sådant samband ser ut?

Ok, t.ex. värdet 2 på b.

a = -2b-3 $\Rightarrow$ $a = - 2 \times 2 - 3$

a är då lika med -7. Och på formen z=a+bi så blir det z=-7+2i?

Precis.

AlvinB skrev :
Precis.

Tack för hjälpen. Nu fattar jag!

trulek skrev :
AlvinB skrev :
Det finns oändligt många punkter. Du vet ju att $a = - 2 b - 3$ , och då kan du ju välja vilket värde som helst på b och få ett värde på a. Du vet väl hur grafen av ett sådant samband ser ut?
Ok, t.ex. värdet 2 på b.
a = -2b-3 $\Rightarrow$ $a = - 2 \times 2 - 3$
a är då lika med -7. Och på formen z=a+bi så blir det z=-7+2i?

Eftersom z = a + bi så betyder det att a är realdelen av z, Re(z) och b är imaginärdelen av z, Im(z)

När du markerar en punkt z i det komplexa talplanet då sätter du av Re(z) på den horisontella axeln och Im(z) på den vertikala axeln.

Det samband du har kommit fram till är a = -2b - 3.

Om du istället skriver detta som b = -1/2*a - 3/2 så ser du att det är ett linjärt samband mellan a och b, dvs mellan Re(z) och Im(z), dvs mellan värdet du sätter av på den horisontella axeln och värdet du sätter av på den vertikala axeln.

Markera några punkter som uppfyller sambandet.

Välj t.ex.

a = -2, vilket ger b = -1/2, dvs z = -2 - (1/2)i
a = -1, vilket ger b = -1, dvs z = -1 - i
a = 0, vilket ger b = -3/2, dvs z = 0 - (3/2)i
a = 1, vilket ger b = -1/2 - 3/2, dvs z = 1 - 2i
a = 2, vilket ger b = -1 - 3/2, dvs z = 2 - (5/2)i

Ser du något samband mellan dessa punkter?

Yngve skrev :
trulek skrev :
AlvinB skrev :
Det finns oändligt många punkter. Du vet ju att $a = - 2 b - 3$ , och då kan du ju välja vilket värde som helst på b och få ett värde på a. Du vet väl hur grafen av ett sådant samband ser ut?
Ok, t.ex. värdet 2 på b.
a = -2b-3 $\Rightarrow$ $a = - 2 \times 2 - 3$
a är då lika med -7. Och på formen z=a+bi så blir det z=-7+2i?
Eftersom z = a + bi så betyder det att a är realdelen av z, Re(z) och b är imaginärdelen av z, Im(z)
När du markerar en punkt z i det komplexa talplanet då sätter du av Re(z) på den horisontella axeln och Im(z) på den vertikala axeln.
Det samband du har kommit fram till är a = -2b - 3.
Om du istället skriver detta som b = -1/2*a - 3/2 så ser du att det är ett linjärt samband mellan a och b, dvs mellan Re(z) och Im(z), dvs mellan värdet du sätter av på den horisontella axeln och värdet du sätter av på den vertikala axeln.
Markera några punkter som uppfyller sambandet.
Välj t.ex.
a = -2, vilket ger b = -1/2, dvs z = -2 - (1/2)i
a = -1, vilket ger b = -1, dvs z = -1 - i
a = 0, vilket ger b = -3/2, dvs z = 0 - (3/2)i
a = 1, vilket ger b = -1/2 - 3/2, dvs z = 1 - 2i
a = 2, vilket ger b = -1 - 3/2, dvs z = 2 - (5/2)i
Ser du något samband mellan dessa punkter?

Ja, när jag kollar på talplanet så är punkterna i tredje och fjärde kvadranten och avståndet är lika stort mellan alla.

trulek skrev :
Ja, när jag kollar på talplanet så är punkterna i tredje och fjärde kvadranten och avståndet är lika stort mellan alla.

OK. Ligger punkterna på rad, dvs kan du dra en linje genom alla punkter?

Yngve skrev :
trulek skrev :
Ja, när jag kollar på talplanet så är punkterna i tredje och fjärde kvadranten och avståndet är lika stort mellan alla.
OK. Ligger punkterna på rad, dvs kan du dra en linje genom alla punkter?

Ja, det blir ungefär som en kantig halvcirkel.

trulek skrev :
Yngve skrev :
trulek skrev :
Ja, när jag kollar på talplanet så är punkterna i tredje och fjärde kvadranten och avståndet är lika stort mellan alla.
OK. Ligger punkterna på rad, dvs kan du dra en linje genom alla punkter?
Ja, det blir ungefär som en kantig halvcirkel.

Kan du lägga in en bild av dina punkter? För mig ligger de på en rät linje.

Smaragdalena skrev :
trulek skrev :
Yngve skrev :
trulek skrev :
Ja, när jag kollar på talplanet så är punkterna i tredje och fjärde kvadranten och avståndet är lika stort mellan alla.
OK. Ligger punkterna på rad, dvs kan du dra en linje genom alla punkter?
Ja, det blir ungefär som en kantig halvcirkel.
Kan du lägga in en bild av dina punkter? För mig ligger de på en rät linje.

Det var mitt fel. Jag glömde bort zoomen.

Men det är lika stort avstånd mellan punkterna.

Jag har inget facit men det är en eller flera av dessa punkter som jag ska markera i talplanet?

Du skall markera samtliga punkter som det gäller för, d v s rita en rät linje (och ange linjens ekvation).

trulek skrev :
Jag har inget facit men det är en eller flera av dessa punkter som jag ska markera i talplanet?

Som sagt, det finns oändligt många punkter i det komplexa talplanet som uppfyller villkoret att de ligger lika långt från z = 2 som från z = -4i.

Alla dessa punkter ligger på en linje som går mitt emellan de två givna punkterna och som är vinkelrät mot sträckan mellan z = 2 och z = -4i

Denna linje har du beskrivit genom sambandet $b = - \frac{1}{2} a - \frac{3}{2}$ (se bild)

Det skulle alltså gå att hitta lösningen till problemet grafiskt genom att dra en linje vinkelrätt mot och mitt på sträckan mellan de två komplexa talen.