Markera i det komplexa talplanet (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

Markera 4 och 2i i talplanet. Finns det en punkt som ligger mittemellan? Finns det andra punkter som också ligger på samma avstånd från 4 som till 2i? Bildar de något mönster/linje så att alla punkter kan generaliseras till en funktion?

Bookworm skrev:
Markera 4 och 2i i talplanet. Finns det en punkt som ligger mittemellan? Finns det andra punkter som också ligger på samma avstånd från 4 som till 2i? Bildar de något mönster/linje så att alla punkter kan generaliseras till en funktion?

Det man söker är alltså vektorn 4+2i?

Nej, börja med att rita 4 och 2i (inte 4+2i). Uppgiften säger att avstånd mellan z och 4 är samma som avståndet mellan z och 2i.

Bookworm skrev:
Nej, börja med att rita 4 och 2i (inte 4+2i). Uppgiften säger att avstånd mellan z och 4 är samma som avståndet mellan z och 2i.

Så, vad ör nästa steg nu?

Jag tog en mer algebraisk approach, där jag kollade på vad sambandet egentligen säger.

Om vi för enkelhetens skull säger att Im(z) = y, och Re(z) = x, så har vi

$|x - 4, y| = |x, y - 2|$

dvs

$\sqrt{{(x - 4)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}}$

Ur det sambandet kan man stuva om lite och se för vilka punkter det stämmer.

foppa skrev:
Jag tog en mer algebraisk approach, där jag kollade på vad sambandet egentligen säger.
Om vi för enkelhetens skull säger att Im(z) = y, och Re(z) = x, så har vi
$|x - 4, y| = |x, y - 2|$
dvs
$\sqrt{{(x - 4)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}}$
Ur det sambandet kan man stuva om lite och se för vilka punkter det stämmer.

Okej.

Så när man har ett läge, typ $|z - 4|$ , vet man ej vilket x eller y värdet är för punkten z, men man vet att när man sedan ska räkna ut absolutbeloppet får man $\sqrt{{(x - 4)}^{2} + y^{2}}$

Och har man exempelvis $|z - 4 + 5 i|$

blir det; $\sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2}}$

Kanske lite krångligt förklarat, men hoppas du förstår vad jag menar

Ja precis. $|z|$ , som är "absolutbeloppet av z", är avståndet från origo till punkten z i det komplexa talplanet. Om vi säger att z=x+yi så är det visuellt samma som om man ritade ut punkten (x, y) i en "vanlig" x-y-graf.

Notera bara att just i din uppgift så snackar man om ställen där startpunkten z får samma avstånd till origo om man flyttar 4 steg i x-led (eller längst reella axeln) som om man helt separat skulle flytta 2 steg i y-led (eller längst imaginära axeln). Det är där sambandet/ekvationen uppstår.

Om man ville vara riktigt petig skulle man byta ut "x" mot "Re(z)" och "y" mot "Im(z)", alternativt definiera det i lösningen. T.ex. börja lösningen på uppgiften med att skriva

"Om vi antar att Re(z)=x och Im(z)=y så har vi..."

... för att sedan kunna fortsätta prata x och y

foppa skrev:
Ja precis. $|z|$ , som är "absolutbeloppet av z", är avståndet från origo till punkten z i det komplexa talplanet. Om vi säger att z=x+yi så är det visuellt samma som om man ritade ut punkten (x, y) i en "vanlig" x-y-graf.
Notera bara att just i din uppgift så snackar man om ställen där startpunkten z får samma avstånd till origo om man flyttar 4 steg i x-led (eller längst reella axeln) som om man helt separat skulle flytta 2 steg i y-led (eller längst imaginära axeln). Det är där sambandet/ekvationen uppstår.

Okej, men hur gör man för att lösa resten av talet då med din metod?

Jag blir fast vid 2x-3=y när jag försöker lösa ekvationen som uppstår!

Om du har 2x-3=y så betyder det att sambandet hänger ihop för alla de punkterna. Uttrycker du det tvärtom, som y = 2x - 3 så framgår det säkert lite tydligare att punkterna ritar ut en linje.

Ja, men om y= 2x - 3 så är det ju alla punkter på en rät linje. Rita in linjen och fundera lite!

ErikR skrev:
Ja, men om y= 2x - 3 så är det ju alla punkter på en rät linje. Rita in linjen och fundera lite!

Alla punkter som ligger längs linjen

y=2x-3 mellan x=0 och x=1.5?

QWERT skrev:
ErikR skrev:
Ja, men om y= 2x - 3 så är det ju alla punkter på en rät linje. Rita in linjen och fundera lite!

Alla punkter som ligger längs linjen
y=2x-3 mellan x=0 och x=1.5?

Varför bara där?

Laguna skrev:
QWERT skrev:
ErikR skrev:
Ja, men om y= 2x - 3 så är det ju alla punkter på en rät linje. Rita in linjen och fundera lite!

Alla punkter som ligger längs linjen
y=2x-3 mellan x=0 och x=1.5?
Varför bara där?

Tänkte att det är dem punkterna som ligger mellan y axeln och x axeln som blir de som uppfyller kriteriet?

Tänk inte, rita upp linjen och titta hur det ser ut.

QWERT skrev:
Laguna skrev:
QWERT skrev:
ErikR skrev:
Ja, men om y= 2x - 3 så är det ju alla punkter på en rät linje. Rita in linjen och fundera lite!

Alla punkter som ligger längs linjen
y=2x-3 mellan x=0 och x=1.5?
Varför bara där?
Tänkte att det är dem punkterna som ligger mellan y axeln och x axeln som blir de som uppfyller kriteriet?

Eftersom det inte stod något i uppgiften om det så kan vi inte säga något annat än att alla punkter, längs hela linjen alltså, funkar fint

foppa skrev:
QWERT skrev:
Laguna skrev:
QWERT skrev:
ErikR skrev:
Ja, men om y= 2x - 3 så är det ju alla punkter på en rät linje. Rita in linjen och fundera lite!

Alla punkter som ligger längs linjen
y=2x-3 mellan x=0 och x=1.5?
Varför bara där?
Tänkte att det är dem punkterna som ligger mellan y axeln och x axeln som blir de som uppfyller kriteriet?
Eftersom det inte stod något i uppgiften om det så kan vi inte säga något annat än att alla punkter, längs hela linjen alltså, funkar fint

Ah okej. Tack!