Markera de punkter på kurvan som f(x) = x+y antar sina störst/minst värden

Nej, den ellips som visas i bilden är grafen till sambandet x²+xy+y² = 3, inte x+y = 3.

Vi har att f(x) = x+y är en summa av de två termerna x och y.

Du vill nu hitta ett så högt och ett så lågt värde som möjligt på denna summa.

Yngve skrev:

Nej, den ellips som visas i bilden är grafen till sambandet x²+xy+y² = 3, inte x+y = 3.

Vi har att f(x) = x+y är en summa av de två termerna x och y.

Du vill nu hitta ett så högt och ett så lågt värde som möjligt på denna summa.

Ahaa, då förstår jag. Alltså av alla (x,y) som ligger på ellipsen x^2+xy+y^2 = 3 så ska jag hitta det med störst värde om jag låter z = x + y av dessa tillåtna x och y-värde.

Blir dock inte riktigt klok på hur jag ska göra det. Jag försökte med att lösa ut x uttryckt i y såhär:

$$\begin{gathered} x =\hspace{0.17em}\sqrt{3-\frac{3y^2}{4}} - \frac{y}{2} \\ z = \sqrt{3-\frac{3y^2}{4}} - \frac{y}{2} +y \\ Sedan derivera jag det, fick fram \\ z\text{'} =\hspace{0.17em}\frac{3y}{4\sqrt{3-\frac{3y^2}{4}}}+\frac{1}{2} \\ \frac{-3y}{4\sqrt{3-\frac{3y^2}{4}}}+\frac{1}{2} = 0 --> y = \pm 1 vilket ger x_{12} =\pm 1 och x_{34}= \pm 2 \\ som då ger störst / minst värde på \pm 3 \end{gathered}$$

Detta är dock fel, utan svaret är $\pm 2$.

Var ett tag sedan jag höll på med detta så är lite rostig, men jag ser inte riktigt vart jag går fel? :s

Skall inte vara 4:e roten, enast 2:a.

Jag tror att 4 bara är en multiplikativ konstant där.

Rita linjerna x+y = 0,  x+y = 1, x+y = 2, så ser du ett mönster.

y = 1 och x = 1 är i alla fall rätt, och där har du summan 2.

Några av de andra plus/minus är förmodligen inte lösningar.

Laguna skrev:

y = 1 och x = 1 är i alla fall rätt, och där har du summan 2.

Några av de andra plus/minus är förmodligen inte lösningar.

Hur vet jag dock vilka som är lösningar och inte i detta fallet? Med tanke på att även de svar som ger z = 3 och z = -3 fungerar i ellipsen :s

Jag tror ni missförstod mig. Linjen x+y = c är en rät linje där summan av x och y är en konstant c.

Om man ritar linjerna för några c-värden så ser man ett MÖNSTER. 

y = 1 är inte ens en lösning till ditt sista steg, ser jag nu. Men (1, 1) är en lösning till frågan, så nånting har blivit fel på vägen.

Mogens skrev:

Visa spoiler

Ser ju ut som den är störst i andra kvadranten, men hur får jag sedan fram ett tal ur det?

Sen blir jag lite vilse också för i ritningen ser det ut som det största z-värdet på ellipsen då blir bra mycket större än z = 2, om jag förstått rätt att x + y = c där c är något z-värde.

I andra kvadranten??

Om du betraktar ellipsen så genomkorsas den av ”x+y”-linjer.

Dessa linjer har ekvationen x+y = c där c går från ungefär –2 till +2. 

Det största värdet för x+y är på linjen som tangerar ellipsen i första kvadranten.

Laguna skrev:

y = 1 är inte ens en lösning till ditt sista steg, ser jag nu. Men (1, 1) är en lösning till frågan, så nånting har blivit fel på vägen.

Glömde - tecken för rotuttrycket, blir rätt med den inkluderad dock. Ändrade i kommentaren. De falska rötterna kommer dock fortfarande med :S

På grund av symmetrin i ellipsen inser man att tangeringen sker i en punkt dar x- och y-koordinaterna lika.

Knugenshögra, jag vet inte om du mött begreppet gradient. Har man det aktuellt så är uppgiften enkel. Men jag ska inte ta över från Laguna, det kan vara svårt att förhålla sig till två lärare med olika spår.

Mogens skrev:

I andra kvadranten??

Om du betraktar ellipsen så genomkorsas den av ”x+y”-linjer.

Dessa linjer har ekvationen x+y = c där c går från ungefär –2 till +2. 

Det största värdet för x+y är på linjen som tangerar ellipsen i första kvadranten.

Aha, trodde att bilden du ritade med ellipsen var samma linjer som du ritade ovan bara med ellipsen inritad. Har dock inte stött på gradient begreppet ännu! Men det är rätt troligt att de vill att man ska lösa det så som du gör, eftersom facit har en kort förklaring som säger:

" Extrempunkterna är där en räta linje x + y = c tangerar
kurvan.  "

Ska man då bara " gissa " sig fram genom att rita de olika linjerna eller? :s

Ja det var samma bild med ellipsen inritad.

Du behöver inte gissa.

Symmetrin gör att du kan söka längs punkter där x = y. Sätt in i ellipsens ekvation:

x² + x² + x² = 3  ger x = ± 1, så punkterna är (1, 1) och (–1, –1) med x+y = 2 resp –2. 

Du kan tänka dig ellipsen som ett skidspår på karta.

På kartan är nivåkurvor inritade, kurvor med samma höjd över havet.

Vi ser att sluttningen är ett plan som växer brantast om man går åt nordost.

Var är skidspårets högsta punkt? Om kurvorna för skidspåret och nivåkurvorna inte har några kantigheter så kommer de ha en gemensam tangent där.

(Gradienten till nivåkurvorna är vinkelrät mot tangenten, den pekar alltså åt nordost och kan skrivas (1, 1). Tittar man på gradienten till ellipsuttrycket gäller det att få det på formen (t, t) och då faller allt ut hur snällt som helst. Men du har inte kommit till gradient, så vi skippar det. Fast maximiproblem med bivillkor innan man mött gradienter förvånar mig :)

Mogens skrev:

Du kan tänka dig ellipsen som ett skidspår på karta.

På kartan är nivåkurvor inritade, kurvor med samma höjd över havet.

Vi ser att sluttningen är ett plan som växer brantast om man går åt nordost.

Var är skidspårets högsta punkt? Om kurvorna för skidspåret och nivåkurvorna inte har några kantigheter så kommer de ha en gemensam tangent där.

 

(Gradienten till nivåkurvorna är vinkelrät mot tangenten, den pekar alltså åt nordost och kan skrivas (1, 1). Tittar man på gradienten till ellipsuttrycket gäller det att få det på formen (t, t) och då faller allt ut hur snällt som helst. Men du har inte kommit till gradient, så vi skippar det. Fast maximiproblem med bivillkor innan man mött gradienter förvånar mig :)

Okej, tror jag börjar förstå. 

Så du söker i punkterna där x=y eftersom gradienten är x=y?

Och med $x = \pm 1$så finns ju två andra lösningar, y = -2 och y = 2. Utesluts dessa då p.g.a att de inte ligger längs gradienten eller?

Använder Anders Källens Flerdimensionell Analys, bläddrade igenom och ser att gradient nämns först på sida 45, är på sida 12 nu så känns rätt skumt ja hah.

Gradienten är en vektor som pekar vinkelrätt mot kurvan. 

För att det ska vara en högsta punkt på skidspåret måste ellipsens gradient och nivåkurvans gradient peka år samma (eller rakt motsatt) håll.

Tänk dig själv du åker snett uppför en backe, någonstans i backen är högsta punkten och du vänder skidorna nedåt. Men just i den punkten är skidorna horisontella, så de pekar i nivåkurvans riktning. Eller kanske för krångligt, hoppa över det.

Jag tror att boken har tänkt att man ritar in linjer x+y = c. Då ser man att högsta (och lägsta) c-värdet fås där linjen tangerar ellipsen. Eftersom x och y är symmetriska i ellipsuttrycket bör det vara längs linjen x = y. 

Sätter man x = y i ellipsuttrycket får man 3x² = 3 osv.

Högsta c-värde är högsta värde för x+y.

Så tror jag att boken tänkt.

Sorry missade din fråga.

(1, –2) utesluts för att punkten inte ligger längs linjen x = y. Det är ingen tangeringspunkt.

Mogens skrev:

Gradienten är en vektor som pekar vinkelrätt mot kurvan. 

För att det ska vara en högsta punkt på skidspåret måste ellipsens gradient och nivåkurvans gradient peka år samma (eller rakt motsatt) håll.

Tänk dig själv du åker snett uppför en backe, någonstans i backen är högsta punkten och du vänder skidorna nedåt. Men just i den punkten är skidorna horisontella, så de pekar i nivåkurvans riktning. Eller kanske för krångligt, hoppa över det.

Jag tror att boken har tänkt att man ritar in linjer x+y = c. Då ser man att högsta (och lägsta) c-värdet fås där linjen tangerar ellipsen. Eftersom x och y är symmetriska i ellipsuttrycket bör det vara längs linjen x = y. 

Sätter man x = y i ellipsuttrycket får man 3x² = 3 osv.

Högsta c-värde är högsta värde för x+y.

Så tror jag att boken tänkt.

Alright, men då tror jag att jag fattar. Tack för hjälpen!