MaoFy provet - Triangel - fråga 20 (2007)

Jag tolkar "höjden mot hypotenusan" som den höjd triangeln har om den tippades så att hypotenusan blev bas (och "höjden" alltså ritas rakt upp från basen, mot hörnet där de två kateterna möts). Ritar du upp detta ser du att den höjden inte motsvarar någon av kateterna. Kommer du framåt då?

Läs Höjdsatsen på http://matmin.kevius.com/trianglar.php

Lös sedan $\frac{x}{hc}=\frac{hc}{c-x}$

dobedidoo skrev :

Jag tolkar "höjden mot hypotenusan" som den höjd triangeln har om den tippades så att hypotenusan blev bas (och "höjden" alltså ritas rakt upp från basen, mot hörnet där de två kateterna möts). Ritar du upp detta ser du att den höjden inte motsvarar någon av kateterna. Kommer du framåt då?

 jo, jag har tänkt så också, men då blir alltså triangeln aldrig rätvinklig förns "höjden mot hypotenusan" blir själva den motstående kateten. Och om "höjden mot hypotenusan" skulle bli den motstående kateten så skulle triangeln få en ny hypotenusa, antar jag!

Höjden mot hypotenusan är i rät vinkel mot hypotenusan. Det är helt entydigt. Du behöver inte ta reda på hur långa kateterna är, och alla trianglar, både rätvinkliga och inte rätvinkliga, med basen 8 och höjden 5 har arean $\frac{8·5}{2} = 20$ areaenheter.

Inte säkert att jag förstår vad du menar, men man kan ganska lätt komma fram till att en rätvinklig triangel inte kan ha hypotenusan = 8 och höjd mot den = 5. Maximal höjd kan fås för en triangel som är en halv kvadrat (delad diagonalt) och då blir höjden = 8/sqrt(2). Skriver på mobilen och lyckas inte lägga in ekvationer, men sqrt avser "roten ur".

Nej, nu slarvade jag! Sorry! Det är kateterna som blir så långa. Se nästa inlägg.

Maximal höjd blir väl 4... Måste ju vara halva diagonalen.

Höjden=h
Hypotenusan = c
Korta delen på hypotenusan delat av höjden = x
Långa delen av hypotenusan delat av höjden = c-x

För att det ska vara en rätvinklig triangel måste följande uttryck vara sant:
$\frac{x}{h}=\frac{h}{c-x}$

Med c=8 och h=5 slutar det i en andragradsekvation som inte har någon reell lösning.

Min fråga: Det måste finnas ett enklare sätt att bedöma om en triangel är rätvinklig om man vet hypotenusan och höjden utan att rita.

Om man tänker sig att man sätter en passarspets mitt på hypotenusan och gör en cirkel så att den har hypotenusan som diameter inser man lätt att högsta höjden är en radie, dvs 4 le. Det följer av satsen om periferivinklar och mittpunktsvinklar. Den räta vinkeln i triangeln hamnar alltid på periferin.

Om man inte inser något av alla dessa möjliga fiffiga sätt som visats i inläggen ovan att visa att triangeln inte finns, kan man alltid ansätta sidorna i de tre trianglarna, använda pytagoras tre ggr och förenkla, med de givna värdena insatta, så får man till slut en motsägelse.

Ture!
Perfekt! Du gav svaret på min och frågeställarens fråga: h<=c/2

Hypotenusan är alltid den längsta sidan i en rätvinklig triangel. Den räta vinkeln finns alltid mellan kateterna i en rätvinklig triangel. Alltså kan höjden mot hypotenusan inte vara en av kateterna.

Alla trianglar med basen 8 och höjden 5 har samma area, nämligen 20 areaenheter. Det tredje hörnet kan ligga lite var som helst, bara det är nånstans på den linje som är parallell med basen och har avståndet 5 längdenheter från basen. En enda av dessa trianglar (och dess spegelbild) är rätvinklig. PeterÅ har visat hur du räknar ut kateterna i denna triangel.

Ture skrev :

Om man tänker sig att man sätter en passarspets mitt på hypotenusan och gör en cirkel så att den har hypotenusan som diameter inser man lätt att högsta höjden är en radie, dvs 4 le. Det följer av satsen om periferivinklar och mittpunktsvinklar. Den räta vinkeln i triangeln hamnar alltid på periferin.

Om man inte inser något av alla dessa möjliga fiffiga sätt som visats i inläggen ovan att visa att triangeln inte finns, kan man alltid ansätta sidorna i de tre trianglarna, använda pytagoras tre ggr och förenkla, med de givna värdena insatta, så får man till slut en motsägelse.

 Tack så mycket, det får mig att förstå det som någon annan skrev att:

höjden < hypotenusan/2

eller 

höjden = hypotenusan/2

Ture skrev :

Om man tänker sig att man sätter en passarspets mitt på hypotenusan och gör en cirkel så att den har hypotenusan som diameter inser man lätt att högsta höjden är en radie, dvs 4 le. Det följer av satsen om periferivinklar och mittpunktsvinklar. Den räta vinkeln i triangeln hamnar alltid på periferin.

Om man inte inser något av alla dessa möjliga fiffiga sätt som visats i inläggen ovan att visa att triangeln inte finns, kan man alltid ansätta sidorna i de tre trianglarna, använda pytagoras tre ggr och förenkla, med de givna värdena insatta, så får man till slut en motsägelse.

 Passare är inte tillåter hjälpmedel så vitt jag vet, så en annan argumentation bör användas i mitt tycke.

emmynoether skrev :

Ture skrev :

Om man tänker sig att man sätter en passarspets mitt på hypotenusan och gör en cirkel så att den har hypotenusan som diameter inser man lätt att högsta höjden är en radie, dvs 4 le. Det följer av satsen om periferivinklar och mittpunktsvinklar. Den räta vinkeln i triangeln hamnar alltid på periferin.

Om man inte inser något av alla dessa möjliga fiffiga sätt som visats i inläggen ovan att visa att triangeln inte finns, kan man alltid ansätta sidorna i de tre trianglarna, använda pytagoras tre ggr och förenkla, med de givna värdena insatta, så får man till slut en motsägelse.

 Passare är inte tillåter hjälpmedel så vitt jag vet, så en annan argumentation bör användas i mitt tycke.

 Man behöver inte rita, även om det underlättar, det räcker att genomföra resonemanget, som jag gjorde.

Redigerade, det jag skrev var felaktigt

Jag hade nog personligen löst det helt algebraiskt med detta resonemang:

Låt kateterna vara a och b och hypotenusan 8, då gäller att

$a^2+b^2=8^2$. 

Låt sedan avståndet från hörnet där a och hypotenusan möts till punkten där basen mot höjden är vara c, då får vi ytterligare två villkor

$5^2+c^2=a^2$

$5^2+(8-c)^2=b^2$

Här har vi nu tre ekvationer med tre obekanta. Försöker man lösa dessa så bör man se att ekvationssystemet saknar lösning (jag har inte gjort det själv).

Men det frågas bara efter arean, och då är det bara basen gånger höjden delat med två, och man vet både basen och höjden.

smaragdalena skrev :

Men det frågas bara efter arean, och då är det bara basen gånger höjden delat med två, och man vet både basen och höjden.

 Och då får man 20 a.e som är fel svar... Man måste kolla om det ens existerar en sådan triangel och det är där det fallerar, det är alltså en kuggfråga.

Aaah, och jag gick snällt på det!

Finns som sagt flera sätt att lösa det. Om man inte känner sig bekväm med att resonera som Ture föreslog (som jag tycker var mycket elegant!) kan man kanske göra som jag skrev tidigare. Det bygger väl egentligen på samma princip, fast man gör resonemanget utan passare.

Tänk en rätvinklig triangel som ligger med hypotenusan nedåt som bas, 8 le lång. En sådan kan se ut på många sätt, såklart; kateterna kan vara olika. Låt t.ex. den kortare katetern vara den på höger sida i din tänkta figur. Av symmetriskäl behöver man inte tänka på det omvända - att den kortare är den vänstra. Extremfallet för den korta är att den är minimalt kort, och då blir höjden i triangeln också minimal. Sedan kan man låta den katetern långsamt bli längre och längre, tills den når det läge då båda kateterna är lika långa. Där är höjden maximal, och eftersom triangeln då motsvarar en halv kvadrat delad diagonalt kan man nog inse att höjden är halva diagonalens längd, dvs. halva basen (som ju är en hel diagonal). Alltså är maximal höjd 4 le. Som sagt, skulle man fortsätta att låta katetern bli längre skulle höjden minska (för då blir den tidigare längre katetern kortare, dvs. det omvända mot vad vi började med.

Detta motsvarar vad jag kan se det som Ture också skrev, men med en (tänkt) passare.

Om jag nu får försöka kompensera hur korkad jag var tidigare: Tänk en cirkel med hypotenusan som diameter. Då är också hypotenusan en medelpunktsvinkel till endera cirkelbågen, och den vinkeln är 180 grader. Randvinkelsatsen säger att en randvinkel på samma båge är hälften så stor som medelpunktsvlinkeln, alltså 90 grader. Detta medför att alla rätvinkliga trianglar har sitt tredje hörn någonstans på cirkelbågen. Alltså kan inte det tredje hörnet vara 5 l e  bort, när cirkelns radieär 4 l e.

Precis! Som Ture också skrev. :)

Och kom ihåg: Även den bästa gör fel ibland!