MaoFy provet - Primitiv funktion - fråga 27 (2012)

Fråga Wolfram alpha. Knappa in något som Int (1/(sin (x))^2) dx och programmet ger dig svaret. Annars kan du börja med att räkna derivatan av 1/(tan(x)

Hej!

Om $x$ är ett tal i närheten av $\pi/4$ så kan du uttrycka första-derivatan som funktionen

    $\displaystyle f'(x) - f'(\pi/4) = \int_{\pi/4}^{x}f^{''}(t)\,dt$.

Om $m$ är en lokal minipunkt till funktionen $f$ så är $f'(m) = 0$ vilket ger ekvationen

    $\displaystyle 0 = f'(\pi/4)+\int_{\pi/4}^{m}f^{''}(t)\,dt$.

Eftersom du vet att $f'(\pi/4) = -2$ och $f^{''}(t) = \frac{1}{\cos^2 t} + \frac{3}{\sin^2 t}$ så måste den lokala minimipunkten uppfylla ekvationen

    $\displaystyle 2 = \int_{\pi/4}^{m} \frac{1}{\cos^2 t} + \frac{3}{\sin^2 t} \,dt$.

Albiki

.

Hej!

Eftersom den lokala minimipunkten ($m$) måste ligga mellan $0$ och $\pi/2$ så vet du att talet $1/cos^2$ är större än $1$ och att talet $3/\sin^2 t$ är större än $3$. Det betyder att integranden är större än $4$. Det gäller alltså att

    $\displaystyle \int_{\pi/4}^{m} \frac{1}{\cos^2 t} + \frac{3}{\sin^2 t}\,dt \geq \int_{\pi/4}^{m} 4\,dt = 4\cdot (m-\frac{\pi}{4}) = 4m - \pi$.

Den lokala minipunkten är alltså ett tal mellan $0$ och $\pi/2$ som uppfyller olikheten

    $\displaystyle 2 \geq 4m - \pi$.

Albiki

Hej!

Eftersom den lokala minimipunkten ($m$) måste ligga mellan $0$ och $\pi/2$ så vet du att talet $1/\cos^2 t$ är större än $1$ och att talet $3/\sin^2 t$ är större än $3$. Det betyder att integranden är större än $4$. Det gäller alltså att

    $\displaystyle \int_{\pi/4}^{m} \frac{1}{\cos^2 t} + \frac{3}{\sin^2 t}\,dt \geq \int_{\pi/4}^{m} 4\,dt = 4\cdot (m-\frac{\pi}{4}) = 4m - \pi$.

Den lokala minipunkten är alltså ett tal mellan $0$ och $\pi/2$ som uppfyller olikheten

    $\displaystyle 2 \geq 4m - \pi$.

Albiki