MaoFy provet - lösningar till ekvation - fråga 10 (2015) (Matematik/Matte 4)

Kan det finnas någon lösning för negativa x?

Dr. G skrev :
Kan det finnas någon lösning för negativa x?

Om x<-1 blir det iallafall bråk, så att VL blir negativ, antagligen inte :/

Alla exponentialfunktionerna är alltid positiva. För x < 0 är 9^x < 6^x, så nettoeffekt av de två första termerna är ett negativt tal. Sedan tar vi bort ett positivt tal, så det blir ännu mer negativt. Alltså är VL < 0 om x < 0.

Om x är "stort", vad kan man då säga om tecknet på VL?

Dr. G skrev :
Alla exponentialfunktionerna är alltid positiva. För x < 0 är 9^x < 6^x, så nettoeffekt av de två första termerna är ett negativt tal. Sedan tar vi bort ett positivt tal, så det blir ännu mer negativt. Alltså är VL < 0 om x < 0.
Om x är "stort", vad kan man då säga om tecknet på VL?

Eftersom 9^x kommer "växa" snabbare än (6^x + 2^(2x+1)) så kommer VL alltid att vara positivt. Så om x går mot oändligheten, blir det oändligt stort. Och eftersom VL blir negativt för x<0, så finns det bara en lösning...?

Blir nu nyfiken på hur man hittar den.

VL är en kontinuerlig funktion av x och är positivt för stora x och negativ för x < 0. Då finns minst en lösning för x > 0.

En sådan finns i intervallet 1 < x < 2. Det "borde" bara finnas en lösning, men att strikt visa det under tidspress känns inte helt lätt. Möjligen kan man ha nytta av x-värdet då de två negativa termerna är lika.

Dr. G skrev :
VL är en kontinuerlig funktion av x och är positivt för stora x och negativ för x < 0. Då finns minst en lösning för x > 0.
En sådan finns i intervallet 1 < x < 2. Det "borde" bara finnas en lösning, men att strikt visa det under tidspress känns inte helt lätt. Möjligen kan man ha nytta av x-värdet då de två negativa termerna är lika.

hmm okej tackar, jag får nöja mig så!

Det är relativt enkellt om än knappast tidseffektivt genom applikationen av en faktoriseringsalgoritm som jag egentligen tycker man kunde lärt sig i matematik 2 men som rätt få verkar kunna. (Kanske fixar det när jag väl får en lärarexamen nån gång)

Algoritmen är egentligen anpassad för kvadratiska uttryck men går att applicera trickartat på andra problem. Schematiskt är det tre steg

1. Kvadratkomplettera uttrycket med avseende på en variabel

2. Skriv om uttrycket som en differens av två kvadrater

3. Applicera konjugatregeln. (Därefter är det faktoriserat)

Här är algoritmen applicerat på ett kvadratiskt uttyck

$x^2 -4x -5 = (x - 2)^2 - 4 - 5 = (x - 2)^2 - 3^2 = (x - 2 + 3)(x - 2 - 3) = (x +1)(x -5)$

Gör vi något liknande med ditt uttryck får vi

$9^x - 6^x - 2^{2x + 1} = 0$
$3^{2x} - 2^x 3^x - 2^{2x + 1} = 0$
$(3^{x})^2- 2 2^{x - 1}3^x - 2^{2x + 1} = 0$ (kvadratkomplettering)
$(3^x - 2^{x - 1})^2 - (2^{x - 1})^2 - 2^{2x + 1} = 0$
$(3^x - 2^{x-1})^2 - 2^{2x - 1} - 2^{2x + 1}=0$
$(3^x - 2^{x-1})^2 - 2^{2x - 2} - 2^{2x + 1} = 0$
$(3^x - 2^{x-1})^2-2^{2x}(2^{-1} + 2) = 0$
$(3^x - 2^{x-1})^2- 3 2^{2x} = 0$
$(3^x - 2^{x-1})^2- 3^2 2^{2(x-1)} = 0$ (konjugatregeln)
$(3^x -2^{x - 1} + 3 2^{x - 1})(3^x - 2^{x - 1} - 3 2^{x - 1}) = 0$
$(3^x + 2^x)(3^x - 2^{x - 1}) = 0$

Vänstra faktorn är strikt positiv.
Den högra faktorn kan vara noll men endast för ett x-värde eftersom det är differensen av två strikt växande funktioner.

Därmed finns endast en lösning. Boom...

Vet att det är ett typsättningsfel i steg 7 resepektive i 11 men går inte att redigera utan att sidan kraschar ¯\_(ツ)_/¯

Jag skulle rekommendera "pq-formeln" för gymnasister (för att hitta x, för lösning av uppgift räcker teckenstudie och storleksjämförelse av termerna)

$3^x\cdot3^x-2^x\cdot3^x-2\cdot2^x\cdot2^x=0$

sätt $t=3^x$ och $u=2^x$

$t^2-ut-2u^2=0$

pq-formeln, förkasta negativ rot

$t=1/2u\pm3u/2$

$t=2u$

$3^x=2^{x+1}$

$x=\frac{ln(2)}{ln(3)-ln(2)}$

Guggle skrev :
Jag skulle rekommendera "pq-formeln" för gymnasister (för att hitta x, för lösning av uppgift räcker teckenstudie och storleksjämförelse av termerna)
$3^x\cdot3^x-2^x\cdot3^x-2\cdot2^x\cdot2^x=0$
sätt $t=3^x$ och $u=2^x$
$t^2-ut-2u^2=0$
pq-formeln, förkasta negativ rot
$t=1/2u\pm3u/2$
$t=2u$
$3^x=2^{x+1}$
$x=\frac{ln(2)}{ln(3)-ln(2)}$

Åh så listigt! tackar :)