mängdlära och relationer
Hej,
Jag har nött på denna uppgift i ett tag nu och skulle verkligen uppskatta lite hjälp med den.
Uppgiften lyder:
L ̊at U = {1, 2, . . . , 10} och M = {3, 4, 6, 8}. Betrakta relationen ARB om
och endast om A ∩M = B ∩M på P(U) (potensmängden för U). Detta är
en ekvivalensrelation.
a) Hur många element innehåller ekvivalensklassen för {1, 3, 8, 9}. Led-
ning: annorlunda uttryckt: hur många element står i relation till
{1, 3, 8, 9}?
b) Visa att relationen är en ekvivalensrelation.
Jag förstår att "ARB om
och endast om A ∩M = B ∩M på P(U)" betyder: A står i relation till B om och endast om snittet av A och M = snittet av B och M..." men jag fattar inte hur jag ska tolka villkoret efter det, alltså "... på P(U)" och dessutom fattar jag inte var A och B kommer ifrån, deras element är inte givna och fattar inte riktigt hur ekvivalensklassen {1, 3, 8, 9} och villkoret ovan hänger ihop.
för a) "Hur många element innehåller ekvivalensklassen för {1, 3, 8, 9}" tänkte jag först att det måste vara 4, eftersom antalet element i klassen är 4, vet inte riktigt om det är rätt.
Uppskattar all hjälp jag kan få, Tack i förhand!
Uppgiften lite kufiskt formulerad. P(U) = mängden av delmängder till U. A, B och M är element i denna mängd P(U) och R ska bevisas vara en ekvivalensrelation på P(U). Jag tolkar situationen som du, dvs att A är relaterad till B omm A och B har samma snitt med M. För uppg (a) låter vi A ={1, 3, 8, 9}. Vad är dess snitt med M? Jo, A ∩M = {3,8}. Ekvivalensklassen består av alla delmängder i U, som har samma snitt med M, dvs innehåller {3,8}, men inte något av de övriga elementen i M dvs 4 och 6. Hur många dessa blir, är inte för en gammal trött Tomte att räkna, men hoppas det blivit lite klarare.
För beviset i (b) är det då bara att kolla villkoren för en ekvivalensrelation dvs
1. Reflexivitet: A ∩M=A ∩M medför att A R A
2. Symmetri: A ∩M=B ∩M medför B ∩M=A ∩M Alltså A R B medför B R A
3. Transitivitet: A ∩M=B ∩M och B ∩M=C ∩M medför A∩M=C∩M dvs A R C
Tomten skrev:Uppgiften lite kufiskt formulerad. P(U) = mängden av delmängder till U. A, B och M är element i denna mängd P(U) och R ska bevisas vara en ekvivalensrelation på P(U). Jag tolkar situationen som du, dvs att A är relaterad till B omm A och B har samma snitt med M. För uppg (a) låter vi A ={1, 3, 8, 9}. Vad är dess snitt med M? Jo, A ∩M = {3,8}. Ekvivalensklassen består av alla delmängder i U, som har samma snitt med M, dvs innehåller {3,8}, men inte något av de övriga elementen i M dvs 4 och 6. Hur många dessa blir, är inte för en gammal trött Tomte att räkna, men hoppas det blivit lite klarare.
För beviset i (b) är det då bara att kolla villkoren för en ekvivalensrelation dvs
1. Reflexivitet: A ∩M=A ∩M medför att A R A
2. Symmetri: A ∩M=B ∩M medför B ∩M=A ∩M Alltså A R B medför B R A
3. Transitivitet: A ∩M=B ∩M och B ∩M=C ∩M medför A∩M=C∩M dvs A R C
Men om ekvivalensklassen består av alla delmängder i U, som har snitt med M. Varför innehåller den då 1 och 9, om 1 och 9 inte har samma snitt med M?
Relationen innebär att A R {1,3,8,9} om A innehåller samma element från M som {1,3,8,9}, dvs. 3 och 8.
Så alla delmängder till U som innehåller både 3 och 8 är de som vi söker.
Din fråga förstår jag inte riktigt.
Om en delmängd innehåller 1 och 9 så kan den mycket väl ingå i ekvivalensklassen, Det enda som krävs är, att den också innehåller 3 och 8 och att inte vare sig 4 eller 6 ingår. Ex mängden {1,3,8,9} ingår, men mängden {1,3,4,8,9} ingår inte, för att dess snitt med M då blir {3,4,8} vilket inte är samma snitt som t ex {1,3,8,9} har med M (dvs {3,8} ).
Tomten skrev:Om en delmängd innehåller 1 och 9 så kan den mycket väl ingå i ekvivalensklassen, Det enda som krävs är, att den också innehåller 3 och 8 och att inte vare sig 4 eller 6 ingår. Ex mängden {1,3,8,9} ingår, men mängden {1,3,4,8,9} ingår inte, för att dess snitt med M då blir {3,4,8} vilket inte är samma snitt som t ex {1,3,8,9} har med M (dvs {3,8} ).
Aaaa, ok nu förstår jag. Tack för förklaringen. En sista fråga, hur ungefär skulle jag kunna bära mig åt för att bevisa villkoren för ekvivalensekvationer?
Tack för all hjälp, Julen kom tidigt i år! hahaha
Villkoren för en ekvivalensrelation bevisas aldrig. Det är vårt eget påhitt att kalla något som uppfyller vissa krav, s k axiom, för en ekvivalensrelation. Axiom är något som inte följer av något/några andra (djupare liggande) satser/axiom. Axiom ligger alltid djupast i botten på en teori. Däremot kan man, som i vårt exempel behöva visa, att något är en ekvivalensrelation, och det gör man som ovan genom att visa att detta något uppfyller de tre kraven,
Tomten skrev:Villkoren för en ekvivalensrelation bevisas aldrig. Det är vårt eget påhitt att kalla något som uppfyller vissa krav, s k axiom, för en ekvivalensrelation. Axiom är något som inte följer av något/några andra (djupare liggande) satser/axiom. Axiom ligger alltid djupast i botten på en teori. Däremot kan man, som i vårt exempel behöva visa, att något är en ekvivalensrelation, och det gör man som ovan genom att visa att detta något uppfyller de tre kraven,
Aha, ok. Tack så hemskt mycket för hjälpen!
