Mängder av Reella tal

Ja, ungefär. Man undrar om implikationen/ekvivalensen stämmer, dvs. "Om [Påstående ett] är sant, kan vi GARANTERAT SÄGA att [Påstående två] är sant?".

Exempel för a): Om "x är större än eller lika med fyra" är sant, kan vi GARANTERAT SÄGA att "x är större än fyra" är sant?

Smutstvätt skrev:

Ja, ungefär. Man undrar om implikationen/ekvivalensen stämmer, dvs. "Om [Påstående ett] är sant, kan vi GARANTERAT SÄGA att [Påstående två] är sant?".

Exempel för a): Om "x är större än eller lika med fyra" är sant, kan vi GARANTERAT SÄGA att "x är större än fyra" är sant?

Om x är större eller lika med 4 då kan inte x vara större än 4. Eftersom om x är 4 då stämmer det inte att 4 är större än 4. a uppgiften är en av de enklare tycker jag. 

b dock. 
Om x är ett tal som är större än 4 kan samma tal då vara lika med 4 och fortfarande större än 4? Men nu när jag tänker efter så betyder $\ge$"större än eller lika med" alltså finns det två alternativ. Och ett av dem stämmer ju! talet kan va större än 4 i VL och HL Alltså så stämmer implikationspilen och det beror på det argument jag har tagit upp. Är det korrekt tänkt ? 

Angående a: Mycket riktigt!

Om vi vet att x är större än fyra, kan vi alltid säga att x är större än eller lika med fyra. På samma sätt kan jag säga att om jag vet att min kusin är äldre än åtta, vet jag att han är äldre än sju. :)

Smutstvätt skrev:

Angående a: Mycket riktigt!

Om vi vet att x är större än fyra, kan vi alltid säga att x är större än eller lika med fyra. På samma sätt kan jag säga att om jag vet att min kusin är äldre än åtta, vet jag att han är äldre än sju. :)

Men då bör alternativ d också vara korrekt? Enligt facit är det fel.

Om $x\ge3$ så kan det gälla att $x=3$. Om $3<x$, d v s $x>3$ så kan x inte ha värdet 3. Alltså är inte påståendena ekvivalenta.

Jag börjar med att tänka symboliskt i sådana här uppgifter: man kan vända på den ena olikheten, så då har vi $x \geq 3$ på ena sidan och $x > 3$ på andra sidan. Och de är ju inte ekvivalenta, och därmed är jag nöjd.

Smaragdalena skrev:

Om $x\ge3$ så kan det gälla att $x=3$. Om $3<x$, d v s $x>3$ så kan x inte ha värdet 3. Alltså är inte påståendena ekvivalenta.

Så om det ska vara ekvivalent måste båda villkoren uppfyllas? Det kan vara större än och lika med? 

Om två påståenden är ekvivalenta, så skall de båda påståendena antingen vara sanna för ett visst tal, eller så skall de båda påståendena vara falska för ett visst tal, och ettdera av dessa båda skall gälla för samtliga tal. I exempel d är det vänstra påsåtendet sant för x=3 men det högra är falskt för x=3. Alltså är inte de båda påståendena ekvivalenta.

Ett tal kan inte samtidigt vara både större än ett visst tal och samtidigt vara lika med detta tal. Symbolen "$\ge$ utläses ju "större än eller lika med$$ och då är utsagan sann om "större än" är sann eller om "lika med" är sann, d v s både om "större än" är sann och om "lika med" är sann. Båda kan inte vara sanna samtidigt.

Smaragdalena skrev:

Om två påståenden är ekvivalenta, så skall de båda påståendena antingen vara sanna för ett visst tal, eller så skall de båda påståendena vara falska för ett visst tal, och ettdera av dessa båda skall gälla för samtliga tal. I exempel d är det vänstra påsåtendet sant för x=3 men det högra är falskt för x=3. Alltså är inte de båda påståendena ekvivalenta.

Ett tal kan inte samtidigt vara både större än ett visst tal och samtidigt vara lika med detta tal. Symbolen "$\ge$ utläses ju "större än eller lika med$$ och då är utsagan sann om "större än" är sann eller om "lika med" är sann, d v s både om "större än" är sann och om "lika med" är sann. Båda kan inte vara sanna samtidigt.

Okej, kanske är med lite mer.

Använder man implikations- och ekvivalenspilar redan i gymnasiet, eller införs de på universitetet? 

Laguna skrev:

Använder man implikations- och ekvivalenspilar redan i gymnasiet, eller införs de på universitetet? 

Lite i ma4 men jag har aldrig riktigt grävt så djupt i vad det egentligen betyder. Jag använder det ganska vant som ett likhetstecken... 

Implikations- och ekvivalenspilar introduceras redan i Ma1, åtminstone i Ma1c. Det är dock lättare att tänka i mer världsliga scenarion. Några exempel, ska det vara implikationspilar och i sådant fall åt vilket håll, eller ska det vara ekvivalens?

• Det regnar ute              Marken är blöt
• Alla rosor i en bukett är vissna             Alla blommor i en bukett är vissna
• Min ålder är 12 + 3 år            Jag är femton år gammal [inte sant, reds. anm.]
• Min kompis har en kanin              Min kompis har ett husdjur
• Frankrike är med i EU              Frankrike är en av EU:s medlemsländer

En implikationspil $\Rightarrow$ kan utläsas "om ... så ..". Det betyder att om vänsterledet är sant, så skall högerledet vara sant. Om vänsterledet är falskt, så kan högeredet vara sant eller falskt, det vet man inte. (För $\Leftarrow$, byt plats på höger och vänster i förklaringen.)

En ekvivalenspil $\Leftrightarrow$ kan utläsas "om och endast om ... så..." Det betyder att om VL är sant så är HL sant, och om VL är falskt så är HL falskt. Det kan ses som en kombination av $\Rightarrow$ och $\Leftarrow$.