2 svar
410 visningar
Aedrha 96
Postad: 20 jul 2021 07:20

Magnitud och argument till en överföringsfunktion

Hej! Jag har suttit med en uppgift i signalbehandling som har varit lite knepig. Det landar i att jag från

H(ω)=14(1+e-jω+e-2jω+e-3jω) ska plocka ut en amplitud- och fasfunktion.
vilket jag läser som |H(ω)| och argH(ω) (det står även så i facit).

Jag får inte rätt på det dock!

Jag skrev om funktionen:
H(ω)=14(1+cosω-jsinω+cos(2ω)-jsin(2ω)+cos(3ω)-jsin(3ω)H(ω)=14((1+cosω+cos(2ω)+cos(3ω))-j(sinω+sin(2ω)+sin(3ω))

Min tanke var att H(ω)=realdel2+imaginärdel2

Sedan argH(ω)=arctanimaginärdelrealdel

Men jag får inte rätt på det!

Funktionen känns så klumpig! Det känns som om det är en trigonometrisk omskrivning jag ska göra men jag ser den inte!

Facit anger svaret till:

|H(ω)|=14sin(2ω)sinω2=12cos32ω+cos12ωargH(ω)=-32ω+π

Jag sitter helt fast. All hjälp och alla tips uppskattas!

Freewheeling 220 – Fd. Medlem
Postad: 20 jul 2021 10:43 Redigerad: 20 jul 2021 11:17

Det blir enklare om vi skriver om 1+e-jω+e-2jω+e-3jω=1-e-4jω1-e-jω1 + e^{-j\omega} + e^{-2j\omega} + e^{-3j\omega} = \frac{1-e^{-4j\omega}}{1-e^{-j\omega}} m.h.a. om formeln för en geometrisk summa. Därefter gör vi ett klassiskt trick och faktoriserar ur e-j2ωe^{-j2\omega} från täljaren och e-jω/2e^{-j\omega/2} från täljaren. Då får vi

1-e-4jω1-e-jω=e-j2ωe-jω/2ej2ω-e-j2ωejω/2-e-jω/2=e-j2ωe-jω/22jsin(2ω)2jsin(ω/2)\frac{1-e^{-4j\omega}}{1-e^{-j\omega}} = \frac{e^{-j2\omega}}{e^{-j\omega/2}} \frac{e^{j2\omega}-e^{-j2\omega}}{e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2}} = \frac{e^{-j2\omega}}{e^{-j\omega/2}} \frac{2j\sin(2\omega)}{2j\sin(\omega/2)}

m.h.a. Eulers formel.

Aedrha 96
Postad: 20 jul 2021 20:53

Tack! att skriva det som en geometrisk summa gjorde det hela enklare!
När det kommer till storheten och argumentet jag skrev om funktionen lite:

14e-j32ωsin(2ω)sin(ω/2)

Jag försökte lösa det algebraiskt men det blev mycket termer snabbt.
Skulle man kunna tänka såhär?

När det gäller storheten:


e-j32ω kommer alltid var 1 eftersom det oavsett omega kommer att ligga på enhetscirkeln.

 

Jag fick inte rätt på omskrivningen de gjort i facit till sin(2ω)sin(ω/2), men är det så relevant egentligen? Så länge nämnaren inte är noll borde välsin(2ω)sin(ω/2) vara lika godtagbart? Jag förstår att omskrivningen gör så att man undviker situationen då nämnaren blir noll.

Argumentet:

argH(ω)=arge-j32ω+argsin(2ω)sin(ω/2)arge-j32ω=-32ω


sin(2ω)sin(ω/2) är ett reelt tal så argsin(2ω)sin(ω/2) kan bara anta värdet 0 om kvoten positiv ochπ om kvoten är negativ.

Alltså:

argH(ω)=-32ω då sin(2ω)sin(ω/2)>0-32ω + π då sin(2ω)sin(ω/2)<0


Svara
Close