Magnitud och argument till en överföringsfunktion
Hej! Jag har suttit med en uppgift i signalbehandling som har varit lite knepig. Det landar i att jag från
H(ω)=14(1+e-jω+e-2jω+e-3jω) ska plocka ut en amplitud- och fasfunktion.
vilket jag läser som |H(ω)| och argH(ω) (det står även så i facit).
Jag får inte rätt på det dock!
Jag skrev om funktionen:
H(ω)=14(1+cosω-jsinω+cos(2ω)-jsin(2ω)+cos(3ω)-jsin(3ω)H(ω)=14((1+cosω+cos(2ω)+cos(3ω))-j(sinω+sin(2ω)+sin(3ω))
Min tanke var att |H(ω)|=√realdel2+imaginärdel2
Sedan argH(ω)=arctan(imaginärdelrealdel)
Men jag får inte rätt på det!
Funktionen känns så klumpig! Det känns som om det är en trigonometrisk omskrivning jag ska göra men jag ser den inte!
Facit anger svaret till:
|H(ω)|=14|sin(2ω)sin(ω2)|=12|cos(32ω)+cos(12ω)|argH(ω)=-32ω+π
Jag sitter helt fast. All hjälp och alla tips uppskattas!
Det blir enklare om vi skriver om 1+e-jω+e-2jω+e-3jω=1-e-4jω1-e-jω m.h.a. om formeln för en geometrisk summa. Därefter gör vi ett klassiskt trick och faktoriserar ur e-j2ω från täljaren och e-jω/2 från täljaren. Då får vi
1-e-4jω1-e-jω=e-j2ωe-jω/2ej2ω-e-j2ωejω/2-e-jω/2=e-j2ωe-jω/22jsin(2ω)2jsin(ω/2)
m.h.a. Eulers formel.
Tack! att skriva det som en geometrisk summa gjorde det hela enklare!
När det kommer till storheten och argumentet jag skrev om funktionen lite:
14(e-j32ωsin(2ω)sin(ω/2))
Jag försökte lösa det algebraiskt men det blev mycket termer snabbt.
Skulle man kunna tänka såhär?
När det gäller storheten:
|e-j32ω| kommer alltid var 1 eftersom det oavsett omega kommer att ligga på enhetscirkeln.
Jag fick inte rätt på omskrivningen de gjort i facit till sin(2ω)sin(ω/2), men är det så relevant egentligen? Så länge nämnaren inte är noll borde väl|sin(2ω)sin(ω/2)| vara lika godtagbart? Jag förstår att omskrivningen gör så att man undviker situationen då nämnaren blir noll.
Argumentet:
argH(ω)=arg(e-j32ω)+arg(sin(2ω)sin(ω/2))arg(e-j32ω)=-32ω
sin(2ω)sin(ω/2) är ett reelt tal så arg(sin(2ω)sin(ω/2)) kan bara anta värdet 0 om kvoten positiv ochπ om kvoten är negativ.
Alltså:
argH(ω)={-32ω då sin(2ω)sin(ω/2)>0-32ω + π då sin(2ω)sin(ω/2)<0