Magnetfält

Vilken riktning måste det resulterande fältet ha? Du lägger ihop fälten som om alla bidrag från olika delar av remsan pekar åt samma håll. Åt vilket håll pekar det resulterande fältet? Varför? 

Från Ampères lag får vi magnetfältet runt en lång rak ledare som
$\vec{B} = \frac{\mu_0 I_{enc}}{2 \pi r} \hat{\phi}$
För en liten tunn sträng av plattan så kan vi då skriva med $r = \sqrt{D^2+x'^2}$
$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I dx'}{2 \pi w \sqrt{D^2+x'^2}} \hat{\phi}$
Eftersom plattan ej är rotationssymmetrisk så är det opassande att använda sig av cylindriska koordinater så vi vi skriver om det helt i termer av kartesiska
$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I dx'}{2 \pi w \sqrt{D^2+x'^2}} (-\hat{x} \sin \theta + \hat{y} \cos \theta)$
där theta är vinkeln mellan punkten på plattan och punkten D ovanför plattans mitt. Detta gör att vi kan skriva
$\sin \theta = \frac{D}{\sqrt{D^2+x'^2}}$ och $\cos \theta = \frac{x'}{\sqrt{D^2+x'^2}}$
Notera här att $\cos \theta$ är udda över plattans intervall så den försvinner automatiskt utan att vi behöver räkna på det. Kvar får vi då bara att

$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi w}(-\hat{x}) \int_{-w/2}^{w/2}dx'\frac{D}{D^2+x'^2} = \frac{\mu_0 I}{\pi w}(-\hat{x}) \int_0^{w/2}dx'\frac{D}{D^2+x'^2}$

och om du utför den här integralen ovan, vilket du får göra själva så ser du att du hamnar vid det önskade svaret. Kan du se vad jag gjorde annorlunda här jämfört med dig?

Edit: Om du tycker det är obekvämt att jag integrerar i primat koordinatsystem och om du hellre vill ha ditt dx' efter integrandens slut så kan du skriva om det på ett papper och bara byta till oprimat koordinatsystem och byta plats på dx'. Jag gör såhär av ren vana eftersom man ofta jobbar med två koordinatsystem samtidigt i elektrodynamiken och då reserverar det primade koordinatsystem till källtätheten man integrerar över.