MAFY 2018 uppgift 14

Jag får att det blir - 1. Hur ska man resonera på denna uppgift? 

Här är det nog enklast att prova med några olika värden. Om $\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{4}$, är tangens positivt, men sinusvärdet är också positivt. Då kan vi utesluta (b) direkt. Dessutom blir cosinusvärdet negativt, och vi kan utesluta (c). 

Då kvarstår endast (a) att testa. Tänk på att tangens har perioden pi. $\tan (\mathrm{\pi }-\alpha )$ kan alltså skrivas om till $\tan (-\alpha )$, vilket är lika med 

$\frac{\sin \left(-\alpha \right)}{\cos \left(-\alpha \right)}=-\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}=-\tan \left(\alpha \right)$, 

och ja, jo, när $\tan \left(\alpha \right)$ är positivt, då måste ju $-\tan \left(\alpha \right)$ vara negativt. :)

Tillägg: 8 maj 2022 16:52

Gällande varför din utveckling inte fungerar: När du utvecklar cosinusuttrycket, har du råkat skriva $\cos \left(\mathrm{\pi }\right)\sin \left(\alpha \right)$ istället för $\cos \left(\mathrm{\pi }\right)\cos \left(\alpha \right)$. Om du rättar till det får du rätt utveckling. :)

Smutstvätt skrev:

Här är det nog enklast att prova med några olika värden. Om $\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{4}$, är tangens positivt, men sinusvärdet är också positivt. Då kan vi utesluta (b) direkt. Dessutom blir cosinusvärdet negativt, och vi kan utesluta (c). 

 

Då kvarstår endast (a) att testa. Tänk på att tangens har perioden pi. $\tan (\mathrm{\pi }-\alpha )$ kan alltså skrivas om till $\tan (-\alpha )$, vilket är lika med 

$\frac{\sin \left(-\alpha \right)}{\cos \left(-\alpha \right)}=-\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}=-\tan \left(\alpha \right)$, 

och ja, jo, när $\tan \left(\alpha \right)$ är positivt, då måste ju $-\tan \left(\alpha \right)$ vara negativt. :)

---

Tillägg: 8 maj 2022 16:52

Gällande varför din utveckling inte fungerar: När du utvecklar cosinusuttrycket, har du råkat skriva $\cos \left(\mathrm{\pi }\right)\sin \left(\alpha \right)$ istället för $\cos \left(\mathrm{\pi }\right)\cos \left(\alpha \right)$. Om du rättar till det får du rätt utveckling. :)

Jag förstår fortfarande ej resonemanget även om min utveckling rättas till 

Vilken del är det som känns oklar?

Om vi rättar till felet i din beräkning får vi $\frac{0-(-1)\sin \left(\alpha \right)}{(-1)\cos \left(\alpha \right)}=-\tan \left(\alpha \right)$. 

I uppgiften får vi kravet att $\tan \left(\alpha \right)>0$, och om det är uppfyllt, kommer $-\tan \left(\alpha \right)<0$ alltid att vara uppfyllt. :)

Smutstvätt skrev:

Vilken del är det som känns oklar?

Om vi rättar till felet i din beräkning får vi $\frac{0-(-1)\sin \left(\alpha \right)}{(-1)\cos \left(\alpha \right)}=-\tan \left(\alpha \right)$. 

I uppgiften får vi kravet att $\tan \left(\alpha \right)>0$, och om det är uppfyllt, kommer $-\tan \left(\alpha \right)<0$ alltid att vara uppfyllt. :)

Jag förstår ej hur vi ska visa att tanalfa är större än noll? Och varför är - tanalfa <0? 

$\tan \left(\alpha \right)>0$ är givet i uppgiften. Eftersom $\tan \left(\alpha \right)>0$, måste $-\tan \left(\alpha \right)$ vara mindre än noll (jämför med $a$ och $-a$). :)

Smutstvätt skrev:

$\tan \left(\alpha \right)>0$ är givet i uppgiften. Eftersom $\tan \left(\alpha \right)>0$, måste $-\tan \left(\alpha \right)$ vara mindre än noll (jämför med $a$ och $-a$). :)

Förstår fortfarande ej varför det bör vara mindre än noll :(. Vad har - tanalfa för värde?  Jag tror ej jag förstår hela logiken bakom varför tanalfa är större än 0 och varför - tanalfa är mindre än noll. 

Rita  upp enhetscirkeln. Rita in en vinkel. Tangens för vinkeln är riktningskoefficienten för den linjen.

Det verkar som att linjen på första kvadranten som jag tolkar som tangens är positiv då sin/cos är positiv och positiv även då sin/cos är negativa i tredje kvadranten 

Smutstvätt skrev:

Här är det nog enklast att prova med några olika värden. Om $\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{4}$, är tangens positivt, men sinusvärdet är också positivt. Då kan vi utesluta (b) direkt. Dessutom blir cosinusvärdet negativt, och vi kan utesluta (c). 

 

Då kvarstår endast (a) att testa. Tänk på att tangens har perioden pi. $\tan (\mathrm{\pi }-\alpha )$ kan alltså skrivas om till $\tan (-\alpha )$, vilket är lika med 

$\frac{\sin \left(-\alpha \right)}{\cos \left(-\alpha \right)}=-\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}=-\tan \left(\alpha \right)$, 

och ja, jo, när $\tan \left(\alpha \right)$ är positivt, då måste ju $-\tan \left(\alpha \right)$ vara negativt. :)

---

Tillägg: 8 maj 2022 16:52

Gällande varför din utveckling inte fungerar: När du utvecklar cosinusuttrycket, har du råkat skriva $\cos \left(\mathrm{\pi }\right)\sin \left(\alpha \right)$ istället för $\cos \left(\mathrm{\pi }\right)\cos \left(\alpha \right)$. Om du rättar till det får du rätt utveckling. :)

Du säger att vi ska utesluta a) och c) jag är ej med på varför vi ska göra det. 

Du säger att vi ska utesluta a) och c) jag är ej med på varför vi ska göra det. 

Jaha, då förstår jag! Vi kan utesluta b och c, eftersom vi kan prova med vinkeln pi/4. Då är värdet av uttrycket i VL i (c) positivt, och värdet i (b) negativt, vilket går emot kraven i respektive alternativ. :)

Förstår fortfarande ej varför det bör vara mindre än noll :(. Vad har - tanalfa för värde?  Jag tror ej jag förstår hela logiken bakom varför tanalfa är större än 0 och varför - tanalfa är mindre än noll. 

Vi vet inte viket värde $\tan \left(\alpha \right)$ har, bara att det, enligt uppgiften, är större än noll. Svarsalternativet $\tan \left(\mathrm{\pi }-\alpha \right)$ kan förenklas till $-\tan \left(\alpha \right)$. Om $\tan \left(\alpha \right)$ är positivt, måste då $-\tan \left(\alpha \right)$ vara negativt. 

Smutstvätt skrev:

Du säger att vi ska utesluta a) och c) jag är ej med på varför vi ska göra det. 

Jaha, då förstår jag! Vi kan utesluta b och c, eftersom vi kan prova med vinkeln pi/4. Då är värdet av uttrycket i VL i (c) positivt, och värdet i (b) negativt, vilket går emot kraven i respektive alternativ. :)

Förstår fortfarande ej varför det bör vara mindre än noll :(. Vad har - tanalfa för värde?  Jag tror ej jag förstår hela logiken bakom varför tanalfa är större än 0 och varför - tanalfa är mindre än noll. 

Vi vet inte viket värde $\tan \left(\alpha \right)$ har, bara att det, enligt uppgiften, är större än noll. Svarsalternativet $\tan \left(\mathrm{\pi }-\alpha \right)$ kan förenklas till $-\tan \left(\alpha \right)$. Om $\tan \left(\alpha \right)$ är positivt, måste då $-\tan \left(\alpha \right)$ vara negativt. 

Varför måste tanalfa vara negativt? Menar du att vi måste sätta ett minustecken framför tanalfa för att det ska bli positivt? 

'' Jaha, då förstår jag! Vi kan utesluta b och c, eftersom vi kan prova med vinkeln pi/4. Då är värdet av uttrycket i VL i (c) positivt, och värdet i (b) negativt, vilket går emot kraven i respektive alternativ. :)''

Kan du snälla visa hur dessa alternativ går emot kraven. Det står helt still i huvudet pga denna uppgift. Vill gärna förstå denna uppgift och se saker framför mig 

Vilket tangens-värde har pi/4?

Smaragdalena skrev:

Vilket tangens-värde har pi/4?

1 

Varför måste tanalfa vara negativt? Menar du att vi måste sätta ett minustecken framför tanalfa för att det ska bli positivt? 

$\tan \left(\alpha \right)$ är positivt. Det måste vara positivt eftersom uppgiftsinstruktionen kräver/utgår från detta:

Eftersom detta gäller (enligt uppgiftsinstruktionen), måste samma värde men med motsatt tecken, $-\tan \left(\alpha \right)$, vara ett negativt tal. 

Kan du snälla visa hur dessa alternativ går emot kraven. Det står helt still i huvudet pga denna uppgift. Vill gärna förstå denna uppgift och se saker framför mig 

$\tan \left(\alpha \right)>0$, enligt uppgiften. En vinkel där $\tan \left(\alpha \right)$ är positivt är vinkeln $\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{4}$. Då kan vi undersöka vad som händer i alternativ (b) och (c), för denna vinkel:

$$\begin{gathered} \left(b\right):\hspace{0.17em}\sin \left(\mathrm{\pi }-\alpha \right)<0 \\ \sin \left(\mathrm{\pi }-\alpha \right)=\sin \left(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\sin \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(c\right): \cos \left(\mathrm{\pi }-\alpha \right)>0 \\ \cos \left(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\cos \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}<0 \end{gathered}$$

Varken påståendet i (b) eller (c) stämmer alltså generellt, och vi kan utesluta dessa svar. :)

Mahiya99 skrev:

Smaragdalena skrev:

Vilket tangens-värde har pi/4?

1 

Smutstvätts förklaring är mycket bättre än den  jag  skulle skriva.

Smutstvätt skrev:

Varför måste tanalfa vara negativt? Menar du att vi måste sätta ett minustecken framför tanalfa för att det ska bli positivt? 

$\tan \left(\alpha \right)$ är positivt. Det måste vara positivt eftersom uppgiftsinstruktionen kräver/utgår från detta:

Eftersom detta gäller (enligt uppgiftsinstruktionen), måste samma värde men med motsatt tecken, $-\tan \left(\alpha \right)$, vara ett negativt tal. 

 

Kan du snälla visa hur dessa alternativ går emot kraven. Det står helt still i huvudet pga denna uppgift. Vill gärna förstå denna uppgift och se saker framför mig 

$\tan \left(\alpha \right)>0$, enligt uppgiften. En vinkel där $\tan \left(\alpha \right)$ är positivt är vinkeln $\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{4}$. Då kan vi undersöka vad som händer i alternativ (b) och (c), för denna vinkel:

$$\begin{gathered} \left(b\right):\hspace{0.17em}\sin \left(\mathrm{\pi }-\alpha \right)<0 \\ \sin \left(\mathrm{\pi }-\alpha \right)=\sin \left(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\sin \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(c\right): \cos \left(\mathrm{\pi }-\alpha \right)>0 \\ \cos \left(\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\cos \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}<0 \end{gathered}$$

Varken påståendet i (b) eller (c) stämmer alltså generellt, och vi kan utesluta dessa svar. :)

Ok tack! Får väl acceptera att rätt svar är a) då den enbart fokuserar på tangens medan resten är sin och cos enskilt som ej har med saken att göra. 

Men då låter det som att tan(135) =tan45? 

Ok tack! Får väl acceptera att rätt svar är a) då den enbart fokuserar på tangens medan resten är sin och cos enskilt som ej har med saken att göra. 

(b) och (c) hade kunnat vara rätt svar – det finns ingen garanti för att tangens måste dyka upp i svaret – men i dessa fall är de fel, ja. 

Men då låter det som att tan(135) =tan45? 

Nej, inte riktigt. $\tan \left(135°\right)=\mathbf{-}\tan (45°)$, inte plus. :)

Smutstvätt skrev:

Ok tack! Får väl acceptera att rätt svar är a) då den enbart fokuserar på tangens medan resten är sin och cos enskilt som ej har med saken att göra. 

(b) och (c) hade kunnat vara rätt svar – det finns ingen garanti för att tangens måste dyka upp i svaret – men i dessa fall är de fel, ja. 

Men då låter det som att tan(135) =tan45? 

Nej, inte riktigt. $\tan \left(135°\right)=\mathbf{-}\tan (45°)$, inte plus. :)

Aa juste tan(135)=-1 och tan45 är 1 och eftersom det är minus framför tan45 så blir det - 1

Precis!