MaFy-provet 2024 – uppgift 9

Lösningsförslag till fråga 9 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Givet är ekvationen $az^2 + bz + c = 0$ , där $abc\neq0$ . Två av de tre koefficienterna $a$ , $b$ , $c$ är reella och en är icke-reell. Då kan man dra slutsatsen att

(a) en av ekvationens lösningar är reell och den andra icke-reell

(b) minst en av ekvationens lösningar är icke-reell

(c) minst en av ekvationens lösningar är reell

(d) inget av (a)-(c)

Insättning i PQ-formeln ger rötterna:

$z = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a}}$

Vad händer nu om a, b respektive c är icke-reell?

a är icke-reell: Om a är icke-reellt kommer $- \frac{b}{2 a}$ att vara icke-reellt. Även diskriminanten kommer att vara icke-reell eller noll. Om rotuttrycket efter förenkling är lika med $- \frac{b}{2 a}$ eller $+ \frac{b}{2 a}$ , kommer en rot att vara icke-reell och en noll (reellt). Annars är båda lösningar icke-reella. Därmed kan alternativ (a) strykas.
b är icke-reell: Om b är icke-reell kan samma resonemang appliceras som för om a är icke-reellt.
c är icke-reell: Om c är icke-reellt kommer $- \frac{b}{2 a}$ vara reellt, men diskriminanten icke-reell. Då blir båda lösningar icke-reella.

Det är alltså möjligt att få en reell rot och en icke-reell, och det är möjligt att få två icke-reella rötter, beroende på vilken av koefficienterna som är icke-reell, och vilka värden koefficienterna har. Detta stämmer överens med alternativ (b).

Svar: (b), minst en av ekvationens lösningar är icke-reell.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.

Svara