MaFy-provet 2024 – uppgift 7

Lösningsförslag till fråga 7 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Antalet heltalslösningar till olikheten $bx-17−2x^2>0$, där $b$ är ett reellt tal, är

(a) 0

(b) ändligt, skilt från 0

(c) oändligt

(d) kan ej avgöras

Det snabbaste sättet är troligtvis att rita upp ett koordinatsystem och markera ut 17 på y-axeln. Eftersom konstanttermen är 17, måste parabeln skära denna punkt oavsett värde på b. Med en negativ koefficient framför andragradstermen, måste funktionen ha en minimipunkt. Det begränsar kraftigt antalet möjliga parabler. Rita upp några av dem (ungefärligt): 

Alla x-värden som placerar sig ovanför y-axeln är x-värden som uppfyller olikheten. Det finns därför alltid ett ändligt antal heltalslösningar. Är det ändliga antalet större än noll dock?

Utifrån vår skiss och det faktum att kurvan måste skära y-axeln på grund av konstanttermen, kan vi dra slutsatsen att $x=0$ är en lösning oavsett värde på b. Så oavsett värde på b, finns det alltid minst en (det finns alltid fler, men det behöver vi inte bevisa) heltalslösning i form av $x=0$.

Svar: (b), ändligt, skilt från 0. 

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.