MaFy-provet 2024 – uppgift 6

Lösningsförslag till fråga 6 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Om $x⊞y=\left|x\right|-\left|\left|x+y\right|-\left|y\right|\right|$ för alla reella tal x och y, så gäller för alla reella x och y att 

(a) $x⊞y=y⊞x$ 

(b) $\left(2x\right)⊞\left(-x\right)=2x$

(c) $x⊞y\ge 0$

(d) inget av (a)-(c) gäller generellt

Denna typ av uppgifter är ofta förvirrande på grund av "$⊞$"-tecknet. Detta "fönster" har ingen fast betydelse inom matematiken på samma sätt som " + " och " / " har. Uppgiften definierar en betydelse av fönstersymbolen, men det är bara en definition för denna uppgift. Om det känns förvirrande, går det lika bra att skriva $f(x,y)=\left|x\right|-\left|\left|x+y\right|-\left|y\right|\right|$ istället. Resultatet blir detsamma – en funktion som tar in två värden, och spottar ut ett resultat enligt formeln.

I uppgifter som denna är det ofta effektivt att prova med några olika fall. 

• Test med $x=-1$ och $y=2$ ger värdet 0, medan $x=2$ och $y=-1$ ger värdet 2. Detta motbevisar likheten i (a). 
• Test med $x=-1$ och $y=2$ ger värdet 0, vilket även motbevisar likheten i (b).

Påståendet i (c) stämmer för flera olika testfall, men för att vara säkra behövs ett formellt bevis. Det tar tid, men går att göra för att vara säker:  

Summor av absolutbelopp är alltid större än eller lika med absolutbelopp av en summa, $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$. 

Det innebär att $-\left|\left|x+y\right|-\left|y\right|\right|$ är mindre än $-\left|\left|x\right|+\left|y\right|-\left|y\right|\right|$ (på grund av minustecknet, på samma sätt som att -5 är mindre än -2). Därmed kan vi konstatera att $\left|x\right|-\left|\left|x+y\right|-\left|y\right|\right|\ge \left|x\right|-\left|\left|x\right|+\left|y\right|-\left|y\right|\right|=\left|x\right|-\left|x\right|=0$. (c) är alltså rätt svar. 

Svar: (c), $x⊞y\ge 0$.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.