MaFy-provet 2024 – uppgift 5

Lösningsförslag till fråga 5 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Alla lösningar till olikheten $\frac x{2x-1}\geq\frac1x$ ges av

(a) alla negativa x och $x\geq1$

(b) alla reella x

(c) alla negativa x och $x>\frac{1}{2}$

(d) inget av (a)-(c)

För att slippa falluppdela, samla alla termer i ett led (istället för att multiplicera):

$\frac x{2x-1}-\frac1x\geq0\\\frac{x^2-\left(2x-1\right)}{2x-1}\geq0\\\frac{x^2-2x+1}{2x-1}\geq0\\\frac{\left(x-1\right)^2}{2x-1}\geq0$

Här behövs ett teckenschema: 

$\begin{array}{cccccccc}& & 0& & \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.& & 1& \\ {\left(x-1\right)}^2& +& +& +& +& +& 0& +\\ x& -& 0& +& +& +& +& +\\ \left(2x-1\right)& -& -& -& 0& +& +& +\\ x\left(2x-1\right)& +& 0& -& 0& +& +& +\\ \boxed{\frac{{\left(x-1\right)}^2}{x\left(2x-1\right)}}& +& \cancel{}& -& \cancel{}& +& 0& +\end{array}$

Olikhetens vänsterled är positivt för alla negativa x, samt då x är större än 1/2.

Svar: (c), alla negativa x och $x>\frac{1}{2}$

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.