MaFy-provet 2024 – uppgift 30

Lösningsförslag till fråga 30 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Romben ABCD har sidlängd $a$ (längdenheter). Summan av dess diagonallängder är $|AC| + |BD| = 2d$ (längdenheter). Beräkna och ange rombens area.

Rita upp en romb och markera sidlängder och diagonaler:

Arean som eftersöks kan skrivas som $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$, där uppgiftens information om att $d_1+d_2=2d$ gör att arean kan förenklas till $A=\frac{d_1(2d-d_1)}{2}$.

Parallellogramsatsen säger att ${d_1}^2+{d_2}^2=4a^2$ för denna romb.

$\left(d_1\right)^2+\left(2d-d_1\right)^2=4a^2\\\left(d_1\right)^2+4d^2-4d\cdot d_1+\left(d_1\right)^2=4a^2\\2\left(d_1\right)^2-4d\cdot d_1=4a^2-4d^2\\d_1\left(2d-d_1\right)=2d^2-2a^2$

Vi har kommit fram till att $d_1\left(2d-d_1\right)=2d^2-2a^2$. Vänsterledet i denna likhet är täljaren i arean vi kommit fram till. Därmed kan vi skriva arean som:

$A=\frac{d_1(2d-d_1)}{2}=\frac{2d^2-2a^2}{2}=d^2-a^2$

Svar: $d^2-a^2$

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.