MaFy-provet 2024 – uppgift 3

Lösningsförslag till fråga 3 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Om x är ett reellt tal och $\sqrt{x^2+2x+1}-\sqrt{x^2-2x+1}=-2$, så gäller

(a) $x\geq1$

(b) $-1\leq x\leq1$

(c) $x\leq-1$

(d) inget av (a)-(c).

Här behöver man känna igen kvadraterna under rottecknen. Ekvationen kan skrivas om till $\sqrt{{\left(x+1\right)}^2}-\sqrt{{\left(x-1\right)}^2}=-2$, som kan förenklas till $\left|x+1\right|-\left|x-1\right|=-2$.

Denna ekvation kan lösas genom falluppdelning: 

Så då x är mindre än eller lika med -1 stämmer likheten, vilket stämmer med alternativ (c).

Ett snabbare sätt att lösa ekvationen är att rita upp graferna till de två absolutbeloppen för hand. Det behöver inte vara snyggt: 

Här kan vi se att avståndet i y-led är 2 då $x\geq1$ eller $x\leq-1$. Eftersom differensen mellan funktionerna ska vara -2, enligt ekvationen $\left|x+1\right|-\left|x-1\right|=-2$, måste $\left|x-1\right|$ ligga över $\left|x+1\right|$, och avståndet vara 2. Det är uppfyllt då $x\leq-1$. 

Svar: (c), $x\leq-1$.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.