MaFy-provet 2024 – uppgift 29

Lösningsförslag till fråga 29 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Två cirklar tangerar den räta linjen t och ligger på samma sida om den. Den ena cirkeln har medelpunkt $O_1$ och radie $R$, den andra har medelpunkt $O_2$ och radie $r$, där $r < R$. Avståndet mellan de två medelpunkterna är $|O_1O_2| = d > R + r$. Linjen t skär linjen som binder samman cirklarnas medelpunkter i punkten $P$. Beräkna och ange avståndet $|PO_2$|. (Alla längder och avstånd mäts i samma längdenhet.)

Rita upp en skiss som uppfyller uppgiftens krav:

Uppgiften bildar tre rätvinkliga trianglar: $PO_1a_1$, $PO_2a_2$ och $CO_1O_2$. För enkelhetens skull kan dessa tre trianglar ritas upp med mått separat:

Längden $PO_2$ eftersöks. Alla tre trianglar är likformiga, vilket innebär att nedanstående samband kan ställas upp:

$\frac d{\left|PO_2\right|}=\frac{R-r}r\\\left|PO_2\right|=\frac{rd}{R-r}$

Svar: $|PO_2|=\frac{rd}{R-r}$

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.