MaFy-provet 2024 – uppgift 28

Lösningsförslag till fråga 28 från Matematik- och fysikprovet 2024.

I triangeln ABC gäller att $|AB| = 7$ l.e., $|AC| = |BC| = 6$ l.e. Beräkna och ange längden av höjden från hörnet $A$ mot sidan $BC$.

Skissa en triangel som ungefärligt uppfyller sidlängderna i uppgiften:

Höjden som efterfrågas går från hörnet A, och bildar en rät vinkel mot sidan BC:

Kalla höjden h, och den korta delen av sidan BC för x:

Ett ekvationssystem kan då ställas upp genom pythagoras sats:

$\left\{\begin{array}{l}x^2+h^2=6^2\\left(6-x\right)^2+h^2=7^2\end{array}\right.$

Subtraktion av ekvation 1 från ekvation 2 ger:

$\left(\left(6-x\right)^2+h^2\right)-\left(x^2+h^2\right)=7^2-6^2\\\left(6-x\right)^2-x^2=13\\36-12x+x^2-x^2=13\\x=\frac{23}{12}$

Vilket kan sättas in i ekvation 1 för att få:

$\left(\frac{23}{12}\right)^2+h^2=6^2\\h=\sqrt{36-\left(\frac{23}{12}\right)^2}=\sqrt{\frac{36\cdot12^2-23^2}{12^2}}=\frac{7\sqrt{95}}{12}$

Svar: $\frac{7\sqrt{95}}{12}$.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.