MaFy-provet 2024 – uppgift 26

Lösningsförslag till fråga 26 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Lös ekvationen

$\frac{1+\tan^2x}{1-\tan^2x}=4\sin2x$

Ange summan av de två minsta positiva lösningarna.

Tangensfunktionen kan skrivas som sinusfunktionen dividerad med cosinusfunktionen. Det ger ekvationen:

$\frac{1+\tan^2x}{1-\tan^2x}=4\sin2x\\\frac{1+{\displaystyle\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}}{1-{\displaystyle\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}}=4\sin2x\\\frac{\displaystyle\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}}{\displaystyle\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}}=4\sin2x\\\frac{\displaystyle\frac1{\cos^2x}}{\displaystyle\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}}=4\sin2x\\\frac1{\cos^2x-\sin^2x}=4\sin2x$

Nämnaren i vänsterledet kan förenklas till $\cos2x$, i enlighet med reglerna för dubbla vinkeln för cosinus. Då kan ekvationen fortsätta lösas som:

$\frac1{\cos^2x-\sin^2x}=4\sin2x\\\frac1{\cos2x}=4\sin2x\\1=4\sin2x\cdot\cos2x$

(givet att cos2x inte blir noll)

Här kan dubbla vinkeln för sinus användas för att skriva ihop högerledet:

$1=4\sin2x\cdot\cos2x\\1=2\cdot\sin4x\\\frac12=\sin4x\\\left\{\begin{array}{l}(1):\;4x=\frac{\mathrm\pi}6+n\cdot2\mathrm\pi\(2):\;\;4x=\frac{5\mathrm\pi}6+n\cdot2\mathrm\pi\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{l}(1):\;x=\frac{\mathrm\pi}{24}+n\cdot\frac{\mathrm\pi}2\(2):\;\;x=\frac{5\mathrm\pi}{24}+n\cdot\frac{\mathrm\pi}2\end{array}\right.$

De två minsta positiva lösningarna är alltså $\frac{\mathrm\pi}{24}$ och $\frac{5\mathrm\pi}{24}$, som summerar till $\frac{\mathrm\pi}{4}$.

Svar: $\frac{\mathrm\pi}{4}$.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.