MaFy-provet 2024 – uppgift 25

Lösningsförslag till fråga 25 från Matematik- och fysikprovet 2024.

En geometrisk talföljd har kvoten q. Bestäm de värden q kan ha givet att det andra elementet i följden är 1 och summan av de fyra första elementen i följden är 4. Ange summan av dessa värden.

Den andra termen i följden är 1, och kvoten är q. Därmed kan de första fyra elementen i talföljden skrivas som:

$\frac1q,\;1,\;q,\;q^2$

Summaformeln för en geometrisk summa är $S_{\mathrm{geo}}=\frac{a\left(k^n-1\right)}{k-1}$. Vårt a är $\frac{1}{q}$, k är 1, och n är 4.

Det ger ekvationen $\frac{{\displaystyle\frac1q}\left(q^4-1\right)}{q-1}=4$.

$\frac{{\displaystyle\frac1q}\left(q^4-1\right)}{q-1}=4\\\frac{\displaystyle\left(q^4-1\right)}{q-1}=4q\\\frac{\displaystyle\left(q^2+1\right)\left(q^2-1\right)}{q-1}=4q\\\frac{\displaystyle\left(q^2+1\right)\left(q+1\right)\left(q-1\right)}{q-1}=4q\\\left(q^2+1\right)\left(q+1\right)=4q\\q^3+q^2-3q+1=0$

Denna ekvation kan lösas genom att gissa en rot – test med värdena 1 och -1 på q ger att $q=1$ är en rot. Polynomdivision ger då att ekvationen kan skrivas som $(q-1)(q^2+2q-1)=0$.

Det finns alltså tre möjliga värden på q:

$\left\{\begin{array}{l}q_1=-1-\sqrt2\q_2=1\q_3=-1+\sqrt2\end{array}\right.$

Vilka summerar till $-1$.

Svar: $-1$.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.