MaFy-provet 2024 – uppgift 24

Lösningsförslag till fråga 24 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Beräkna $\int_0^2\left(e^{-2x}-\frac2{3-x}+\cos\frac x3\right)\operatorname dx$.

Integranden består av tre olika funktionsuttryck. Innan vi kan integrera, behöver vi säkerställa att alla tre funktionsuttryck är definierade i hela intervallet.

• $f(x)=e^{-2x}$ är definierad för alla reella $x$.
• $\frac2{3-x}$ är definierad för alla $x$ utom då $x=3$, vilket ligger utanför integrationsintervallet, så det går bra.
• $\cos\frac x3$ är definierad för alla reella $x$.

Integranden är därmed kontinuerlig mellan $x=0$ och $x=2$, så det går bra att integrera utan speciella anpassningar:

$\int_0^2\left(e^{-2x}-\frac2{3-x}+\cos\frac x3\right)\operatorname dx=\\\left[\frac{e^{-2x}}{-2}-2\ln\left|3-x\right|\cdot\left(-1\right)+\frac{\sin\left({\displaystyle\frac x3}\right)}{\displaystyle\frac13}\right]_0^2=\\\left(-\frac{e^{-4}}2+2\ln\left(1\right)+3\sin\left(\frac23\right)\right)-\left(-\frac12+2\ln\left(3\right)\right)=\\-\frac12e^{-4}+3\sin\left(\frac23\right)+\frac12-2\ln\left(3\right)$

Svaret blir grötigt, men går inte att förenkla mycket mer än så.

Svar: $-\frac12e^{-4}+3\sin\left(\frac23\right)+\frac12-2\ln\left(3\right)$

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.