MaFy-provet 2024 – uppgift 22

Lösningsförslag till fråga 22 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Bestäm alla reella tal $a$, för vilka ekvationen $x^2 − 2ax + (a^2 + 2) = 0$ har två icke-reella lösningar som befinner sig på avstånd 5 från talet 0. Ange det minsta talet $a$ med den egenskapen.

PQ-formeln ger att lösningarna är:

$x=a\pm\sqrt{a^2-\left(a^2+2\right)}=a\pm i\sqrt2$

Rötterna ska ligga på avstånd 5 från origo, vilket ger att värdena på a är:

$5=\sqrt{a^2+\sqrt2^2}=\sqrt{a^2+2}\\25=a^2+2\\a=\pm\sqrt{23}$

Falska rötter kan ha uppstått vid kvadreringen av båda led, så värdena på a måste testas, vilket visar att båda fungerar.

Svar: $-\sqrt{23}$

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.