MaFy-provet 2024 – uppgift 20

Lösningsförslag till fråga 20 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Givet är en tetraeder ABCD, sådan att |AB| = |AC| = |AD| = 2 längdenheter, och de tre plana vinklarna vid hörnet A är räta. Tetraederns höjd från hörnet A mot sidan BCD har i samma längdenheter längden

(a) $\frac{\sqrt6}2$

(b) annat tal;

(c) det går inte att avgöra;

(d) det finns ingen sådan tetraeder.

Börja med att rita upp en tetraeder och sätt ut måtten:

Punkten O är mittpunkten på sidan BCD. Det är höjden AO som vi vill bestämma längden av. Om vi hittar sträckan CO, kan Pythagoras sats användas för att bestämma höjden.

För att hitta sträckan CO kan vi använda oss av faktumet att BCD är en liksidig triangel (eftersom de plana vinklarna vid A alla är räta, och sträckorna ut från A är lika långa). Alla vinklar i triangeln BCD är därmed 60 grader. Det gör att vi kan rita in en halv, rät triangel i botten av tetraedern:

M är mittpunkten på sträckan BC. Vinkeln MCO är 30 grader (hälften av 60°). Sträckan CM är hälften så lång som BC, vars längd kan bestämmas med Pythagoras sats:

$\left|BC\right|=\sqrt{\left|AB\right|^2+\left|AC\right|^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2$

och längden av CM är hälften av BC, vilket är $\sqrt2$ längdenheter.

Längden av CO är därför:

$\cos\left(\angle MCO\right)=\frac{\sqrt2}{\left|CO\right|}\Leftrightarrow\left|CO\right|=\frac{\sqrt2}{\left({\displaystyle\frac{\sqrt3}2}\right)}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}$

Vilket kan sättas in i Pythagoras sats för att beräkna höjden i tetraedern:

$h=\left|AO\right|=\sqrt{\left|AC\right|^2-\left|CM\right|^2}=\sqrt{2^2-\left(\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}\right)^2}=\\\sqrt{4-\frac{4\cdot2}3}=\sqrt{\frac{4\cdot3\cdot3-4\cdot2\cdot3}9}=\frac{\sqrt{4\cdot3\cdot3-4\cdot2\cdot3}}3=\frac{\sqrt{12}}3$

Vilket inte finns som svar.

Svar: (b), annat tal

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.

Svara